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PROBLEMA DEL TRANSPORTE. El PT es un caso particular de la PL Se debe determinar un esquema óptimo de transporte que se origina en los lugares de oferta.

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1 PROBLEMA DEL TRANSPORTE

2 El PT es un caso particular de la PL Se debe determinar un esquema óptimo de transporte que se origina en los lugares de oferta donde la existencia de cierta mercancía es conocida, y llega a los lugares de donde se conoce la cantidad requerida. El costo de cada envió es proporcional a la cantidad transportada y, el costo total es la suma de los costos individuales.

3 Esquema tabular del PT

4 Una solución al PT queda definido por un conjunto de mxn número X ij, donde: X ij : Número de unidades a enviar desde el origen i al destino j Siendo Xij 0

5 El programa lineal del Problema del transporte queda expresado de la siguiente manera: Sujeto a: i=1,....,m j=1,....,n

6 METODOS PARA HALLAR SOLUCION FACTIBLE BASICA INICIAL METODO DE LA ESQUINA NOR OESTE Se empieza en la casilla (1,1) calculando X 11 = min(a 1,b 1 ). Si a 1 < b 1, se hace b 1 = b 1 – a 1 y se pasa a la casilla (2,1) calculando X 21 = min(a 2,b 1 ). Si a 1 > b 1 entonces se hace a 1 = a 1 – b 1 y se pasa a la casilla (1,2) para calcular X 12 = min (a 1, b 2 ), y así se continua hasta obtener la sfbi.

7 EJEMPLO: Una compañía tiene 3 fábricas ubicadas en A, B y C, las cuales proveen a los almacenes que están ubicados en D, E, F y G. La capacidad de producción de las fábricas son de 70, 90 y 115 unidades mensuales respectivamente, mientras que las capacidades de los almacenes es de 50, 60, 70 y 95 unidades respectivamente. El costo de envió de una unidad desde cada una de las fábricas a cada una de los almacenes se presenta en el siguiente cuadro (en $). Determinar la solución factible básica inicial utilizando el método de la esquina NO

8 D 1 D 2 D 3 D 4 a i b j O 1 O 2 O Se colocan los datos en forma tabular. X 11 = min (a 1,b 1 )=min (70,50) = 50 a 1 = a 1 - b 1 = 70 – 50 = 20 X 12 = min (a 1,b 2 )=min (20,60) = 20 b 2 = b 2 - a 1 = 60 – 20 = 40 X 22 = min (a 2,b2 1 )=min (90,40) = 40 a 2 = a 2 – b 2 = 90 – 40 = 50 X 23 = min (a 2,b 3 )=min (50,70) = 50 b 3 = b 3 – b 2 = 70 – 50 = 20 X 33 = min (a 3,b 3 )=min (115,200) = 50 a 3 = a 3 – b 3 = 115 – 20 = 95 X 34 = min (a 3,b4 1 )=min (95,95) = 95 Por consiguiente la solución es:

9 Z = 17*50+20*20+21*40+26*50+15*20+17*95 Z = $ 5305 D 1 D 2 D 3 D 4 a i b j O 1 O 2 O

10 Caso 1: Minimización de costos de desplazamiento El hospital Saludmuch pertenece a la Compa ñí a de Seguros Todosalud SA. Esta sociedad tiene un Centro de Asistencia Primaria (CAP) en 5 ciudades de una regi ó n (un CAP en cada ciudad). Para obtener un buen funcionamiento global del servicio y poder planificar el n ú mero de visitas en funci ó n del personal previsto en cada CAP y de su dimensi ó n, Todosalud S.A. ha decidido organizar el servicio de tal forma que todos sus asegurados tengan un CAP de referencia asignado, pero que sea é ste el m á s cercano posible a su lugar de residencia. En la regi ó n hay 5 ciudades y la compa ñí a sabe cuantos asegurados tiene en cada uno de ellos. Los CAP tienen una capacidad m á xima de pacientes que pueden soportar. El objetivo es asignar a los asegurados a los CAPs minimizando el coste de desplazamiento o la distancia total.

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12 Si no existiera el problema de capacidad de los CAPs, el modelo ser í a trivial, ya que bastar í a asignar cada ciudad al CAP m á s cercano, obteni é ndose el coste de transporte m á s barato. Al tener l í mites en la capacidad, puede ser que no todas las ciudades tengan asignado el centro m á s cercano, ya que esto implicar í a una sobre utilizaci ó n. Entonces, puede ser que alguna ciudad, o parte de ella tenga asignada un CAP que no es el m á s cercano, en funci ó n de la disponibilidad o holgura del sistema.

13 El PT en sus forma tabular quedaría de la siguiente manera: El PT es un problema balanceado: El número de variables básicas esta dado por (m + n – 1)

14 METODO DE RUSSELL Proporciona una solución inicial cercana a la óptima. El procedimiento es el siguiente: 1.Calcular u i = max c ij v j = max c ij 2.Encuentre la variable X ij = max (i,j) [(u i + v j –c ij ) > 0] 3.Introducir a la base X ij = min (a i, b j ) Si a i < b j hágase b j = b j – a i y elimine la fila i Si a i > b j hágase a i = a i – b j y elimine la columna j Si a i = b j elimínese fila i o columna j 4.El método termina cuando loa a i y los b j son ceros.

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16 Introducimos a la base la variable: X 14 = min (70, 95) = 70 b 4 = 95 – 70 = 25 y elimine la fila 1. Repetimos el proceso:

17 Introducimos a la base X 33 = min (115, 70) = 70 a 3 = 115 – 70 = 45 y elimine la columna 3

18 Introducimos a la base X 21 = min (90, 50) = 50 a 2 = = 40 y elimine la columna 1

19 Introducimos a la base X 34 = min (45, 25) = 25 a 3 = = 20 y elimine la columna 4 Introducimos a la base X 22 = min (40, 60) = 40 a 2 = = 20 y elimine la columna 2 Introducimos a la base X 32 = min (20, 20) = 20

20 La solución por lo tanto es : El costo de la solución es Z = $ 4,185

21 Generación de nuevas soluciones Consideremos la solución inicial hallada por el método de la esquina N.O. El costo de la solución era Z = $ 5,305 Si se ingresa a la base la variable X 14, el nuevo valor de Z 1 = Z + X 14 * D 14 = (-15) = $5,005 Donde D 14 = c 14 – c 34 + c 33 – c 23 + c 22 – c 12 = = -15

22 Solución Optima Método MODI o UV Consideremos la solución inicial hallada por el método de la Esquina N.O.

23 Paso 2: Se dibuja la matriz Z ij que contiene los costos de la variable solución

24 Paso 3: Se construye un conjunto de números v j y u i tal que la suma iguale a los valores de la matriz Z ij del paso 2 y se completa las celdas vacías con la suma de los u i y v j la matriz Z ij que contiene los costos de la variable solución. Se tiene las siguientes ecuaciones de las celdas básicas: U 1 + v 1 = 17 u 2 + v 3 = 26 U1 + v 2 = 20 u 3 + v 3 = 15 U 2 + v 2 = 21 u 3 + v 4 = 17 Haciendo v 1 = 0 se encuentra que: u 1 = 17 ; v 2 = 3 ; u 2 = 18 V 3 = 8 ; u 3 = 7 ; v 4 = 10

25 Paso 4: Se calcula C ij - Z ij - =

26 Se selecciona la casilla (1,4) que tiene el costo de entrada mas pequeño, por consiguiente debe entrar a la base la variable X 14 El costo de la nueva solución es: Z1 = (20)(-15) = 3005 A continuación probamos si esta solución es o no la óptima

27 Se calcula C ij - Z ij - =

28 Se selecciona la casilla (2,1) que tiene el costo de entrada mas pequeño, por consiguiente debe entrar a la base la variable X 21 El costo de la nueva solución es: Z 2 = (30)(-18) = 4465 A continuación probamos si esta solución es o no la óptima

29 Se calcula C ij - Z ij - =

30 Se selecciona la casilla (3,2) que tiene el costo de entrada mas pequeño, por consiguiente debe entrar a la base la variable X 32 El costo de la nueva solución es: Z 2 = (20)(-14) = 4185 A continuación probamos si esta solución es o no la óptima

31 Se calcula C ij - Z ij - = Esta es la solución óptima


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