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Modelo de transporte Ing. León A. Colina B.. 2 Modelo de transporte El problema de transportación es un tipo de modelo de redes de distribución que utiliza.

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1 Modelo de transporte Ing. León A. Colina B.

2 2 Modelo de transporte El problema de transportación es un tipo de modelo de redes de distribución que utiliza las características especiales de dicha estructura para obtener un procedimiento de resolución específico denominado técnica de transporte.

3 3 Modelo de transporte Definición: El modelo de transporte se puede definir como una técnica que busca determinar un programa de transporte de productos o mercancías desde los orígenes hasta los diferentes destinos al menor costo posible.

4 4 Modelo de transporte Objetivo En términos de programación lineal, la técnica de transporte busca determinar la cantidad que debe ser enviada desde cada origen a cada destino para satisfacer los requerimientos de demanda y abastecimiento de materiales a un costo mínimo.

5 5 Modelo de transporte Aplicaciones a casos como: Control y diseño de plantas de fabricación. Determinar zonas o territorios de ventas. Determinación de centros de distribución o almacenamiento. Programación de producción periódica. Decisiones de producción en tiempo extra y en tiempo normal. Problemas de proveedores de empresas manufactureras o de servicios.

6 6 Modelo de transporte Los supuestos considerados como desventajas son: 1. Los costos de transporte son una función lineal del número de unidades. 2. Tanto la oferta como la demanda se expresan en unidades. 3. Los costos unitarios de transporte no varían de acuerdo con la cantidad transportada. 4. La oferta y la demanda deben ser iguales. 5. Las cantidades de oferta y demanda no varían con el tiempo. 6. No considera más efectos para la localización que los costos del transporte.

7 7 Representación grafica del Modelo de transporte

8 8 Parámetros del Modelo de transporte: a i : restricciones de máxima oferta o capacidad de los centros de producción, distribución o almacenaje. b j : requerimientos mínimos de demanda, y representan las necesidades mínimas que tienen los destinos j que hay que satisfacer en el menor tiempo posible. n : número total de destinos a los que hay que transportar las unidades. m : número de fuentes o centros de distribución. X ij : número de unidades que hay que transportar del origen i al destino j. C ij : costo unitario de transporte del origen i al destino j.

9 9 Formulación del Modelo de Transporte Indicador de suministro Indicador de demanda X ij ; cantidad que se transporta desde el origen i, al destino j i= 1,2,…, m j= 1,2,…, n

10 10 Formulación del Modelo de Transporte

11 11 Modelo de transporte balanceado El modelo de transporte debe estar balanceado para que pueda ser solucionado por medio de la herramienta de transporte. Consiste en agregar una restricción en la que se debe cumplir que las cantidades totales ofrecidas deben ser iguales al total de las unidades demandadas.

12 12 Modelo de transporte balanceado

13 13 Tabla de transporte c 11 x 11 c 12 x 12. c 1n x 1n A1 c 21 x 21 c 22 x 22. c 2n x 2n A c m1 x m1 c m2 x m2. c mn x mn am b1b1 b2b2.bnbn

14 14 Prerrequisitos de diseño de la tabla de transporte Un modelo de transporte desbalanceado puede ocurrir por dos situaciones: a. Suministro en exceso y demanda insuficiente. b. Demanda en exceso y suministros insuficientes. En estas situaciones es necesario agregar un destino (a) o un origen (b) para balancear el modelo con unos C ij iguales a cero, ya que se convierten las celdas del renglón o columna ficticia en variables de holgura con contribución de cero.

15 15 Solución al modelo de transporte Entre los métodos de transporte que conforman la técnica de transporte se tienen: Método de la esquina noroeste. Método de la celda de mínimo costo Método de aproximación de Vogel (MAV) Método modificado de distribución (MODI) Método del cruce del arroyo

16 16 Solución óptima La técnica de transporte es un conjunto de métodos que permiten obtener una solución inicial no óptima o la solución óptima, dependiendo del método que se utilice. Una solución óptima es aquella en la cual: 1) Cada valor X ij es entero no negativo. 2) Los valores X ij de cada fila se suman para verificar la equivalencia con la oferta de cada origen. 3) Los valores de los X ij de cada columna se suman para verificar la equivalencia con la demanda de cada origen.

17 17 Procedimiento general PASO 1 Consiste en encontrar un plan de transporte inicial con m + n - 1 celdas asignadas, utilizando la Esquina noroeste, Costo mínimo o Método de aproximación de Vogel (MAV). PASO 2 Prueba de optimalidad. Esta prueba consiste en identificar la posibilidad de crear un nuevo plan de transporte enviando una unidad de una celda vacía actualmente e incurrir en menor costo total.

18 18 Prueba de optimalidad a) Calcular los costos reducidos para las celdas vacías. El costo reducido representa la cantidad en la cual cambia el costo total al enviar una unidad por una celda vacía. Un valor positivo indica un incremento en el costo total; un valor negativo indica una disminución del costo y, por tanto, una mejora del plan. b) Verificar los costos reducidos. El plan actual es óptimo únicamente cuando todos los costos reducidos sean positivos.

19 19 Procedimiento general PASO 3 Traslado. Cuando una solución no es óptima, se debe encontrar un nuevo plan a partir de las celdas vacías cuyo costo reducido sea el más negativo. Los detalles matemáticos de este algoritmo se presentan conforme se desarrolla.

20 20 Método de la esquina noroeste Procedimiento El procesador se debe ubicar en la celda superior izquierda, y asignar la mayor cantidad posible. Hacer las demás asignaciones recorriendo la ruta vertical u horizontalmente que satisfagan la demanda de izquierda a derecha, y las ofertas de arriba hacia abajo. Obtener el valor total de transportación estimando Z:

21 Método de la esquina noroeste 21 Destino Origen 123Oferta A B C D Demanda

22 22 Destino Origen 123Oferta A x 8 x 4 45 B C D Demanda Método de la esquina noroeste

23 23 Destino Origen 123Oferta A x 8 x 4 45 B x 7 50 C x D x Demanda Método de la esquina noroeste

24 24 Destino Origen 123Oferta A x 8 x 4 45 B x 7 50 C x D x 5 x Demanda Método de la esquina noroeste

25 25 Destino Origen 123Oferta A x 8 x 4 45 B x 7 50 C x D x 5 x Demanda Método de la esquina noroeste

26 26 m + n – 1 = ? – 1 = 6 cumple con al menos una Z (min) = X 11 C 11 +X 21 C 21 +X 22 C 22 +X 23 C 23 +X 33 C 33 +X 43 C 43 Z (min) = 45x x9 + 5x5 + 25x6 + 20x9 + 30x6 Z (min) = 1390 Método de la esquina noroeste

27 27 Solución básica factible de optimalidad loop Un orden secuencial de al menos cuatro celdas distintas se denomina loop si: 1. Dos celdas consecutivas están en la misma columna o en la misma fila. 2. No tiene tres celdas consecutivas en una misma columna o en una misma fila. 3. La última celda de la secuencia tiene una fila o columna común con la primera celda de la secuencia.

28 28 Solución básica factible de optimalidad

29 29 Prueba optimalidad con el cruce del arroyo Procedimiento PASO 1 Verificar que el número de asignaciones de la solución, por cualquiera de los métodos descritos antes, sea igual a m + n -1, Si el número de asignaciones es menor agregue ceros encerrados en un círculo, dependiendo del número faltante para igualar a m + n -1.

30 30 Prueba optimalidad con el cruce del arroyo PASO 2 Hallar los costos reducidos de las variables no básicas, o celdas vacías, haciendo circuitos cerrados con signos más (+) y menos (-), comenzando en una celda vacía con signo más (+) y continuando por celdas llenas hasta cerrar el circuito con signo menos(-). Los costos reducidos serán el resultado de determinar la suma algebraica de los costos del circuito, es decir, donde haya signo positivo se suma, y donde haya menos se resta.

31 31 Prueba optimalidad con el cruce del arroyo PASO 3 Probar la optimalidad de la solución así: Si todos los costos reducidos son positivos, entonces se tendrá la solución óptima, y en tal caso se estima Z j ; si, por el contrario, aparecen costos reducidos negativos, vaya al paso 4. PASO 4 Hacer un cambio de rutas de transportación, seleccionando el costo reducido negativo más alejado de cero,y procediendo a seleccionar el valor menor con signo negativo dentro del circuito correspondiente, para sumado y restado, según el signo.

32 32 Destino Origen 123Oferta A A B C D Demanda Prueba de optimalidad - Cruce A-2 = = 2

33 33 Destino Origen 123Oferta A A B C D Demanda Prueba de optimalidad - Cruce A-3 = = -5

34 34 Destino Origen 123Oferta A B B C D Demanda Prueba de optimalidad - Cruce B-3 = = -1

35 35 Destino Origen 123Oferta A B C +C D Demanda Prueba de optimalidad - Cruce C-1 = = -7

36 36 Destino Origen 123Oferta A B C D +D Demanda Prueba de optimalidad - Cruce D-1 = = -2

37 37 Destino Origen 123Oferta A B C D 5 +D Demanda Prueba de optimalidad - Cruce D-2 = = 4

38 38 Cálculo de costos reducidos A-2 = = 2 A-3 = = -5 B-3 = = -1 C-1 = = -7 D-1 = = -2 D-2 = = 4 Negativo mas alejado de cero

39 39 Destino Origen 123Oferta A B C D Demanda Prueba de optimalidad – Cruce

40 40 Destino Origen 123Oferta A B C D Demanda Prueba de optimalidad - Cruce

41 41 Cálculo 2 de costos reducidos A-2 = = 2 A-3 = = -12 B-3 = = -8 C-2 = = 7 D-1 = = 5 D-2 = = 11 Negativo mas alejado de cero

42 42 Destino Origen 123 Oferta A B C D Demanda Prueba de optimalidad - Cruce

43 43 Cálculo 3 de costos reducidos A-2 = = 2 B-3 = = 4 C-2 = = 7 C-3 = = 12 D-1 = = -7 D-2 = = -1 Negativo mas alejado de cero

44 44 Destino Origen 123Oferta A B C D Demanda Prueba de optimalidad - Cruce

45 45 Cálculo 4 de costos reducidos A-1 = = 7 A-2 = = 9 B-3 = = -3 C-2 = = 7 C-3 = = 5 D-2 = = 6 Negativo mas alejado de cero

46 46 Destino Origen 123Oferta A B C D Demanda Prueba de optimalidad - Cruce

47 47 Cálculo 5 de costos reducidos A-1 = = 4 A-2 = = 6 C-2 = = 7 C-3 = = 8 D-2 = = 6 D-2 = = 3 Z (min) = X 13 C 13 +X 21 C 21 +X 22 C 22 +X 23 C 23 +X 31 C 31 +X 41 C 41 Z (min) = 45x4 + 15x9 + 30x5 + 5x7 + 45x3 + 30x5 Z (min) = 785

48 48 Método de aproximación de Vogel Procedimiento: a.Determine una penalización para cada renglón o columna restando los dos costos menores de ese renglón o columna. Las penalizaciones se notan Ar i y AC i b.Determine la mayor penalización, rompiendo arbitrariamente los empates; puede señalar con un asterisco la mayor penalización. c.Asigne la mayor cantidad posible a la variable con el costo unitario mínimo de ese renglón o columna seleccionado (a).

49 49 Método de aproximación de Vogel Procedimiento d.Elimine el renglón y/ o columna satisfecho llenando de ceros las celdas vacías de ese renglón o columna, a fin de no tenerse en cuenta para cálculos futuros. e.Si sólo queda un renglón o columna sin eliminar, continúe con el método de costo mínimo para balancear el sistema. f. En caso de que no se cumpla el literal e, vaya al literal a. g. Halle el valor de la función objetivo.

50 50 123OfertaAC 1 AC 2 AC 3 A =4* B =2 C =36-3=3* D =1 Demanda AR 1 5-3=25-6=16-4=2 AR 2 5-3=26-5=17-6=1 AR 3 9-5=4*7-5=27-6=1 AR 4

51 51 Cálculo para probar la optimalidad A-1 = = 4 A-2 = = 6 C-2 = = 7 C-3 = = 8 D-2 = = 6 D-3 = = 3 Z (min) = X 13 C 13 +X 21 C 21 +X 22 C 22 +X 23 C 23 +X 31 C 31 +X 41 C 41 Z (min) = 45x4 + 15x9 + 30x5 + 5x7 + 45x3 + 30x5 Z (min) = 785

52 52 Método simplex del problema de transporte PASO 1 a.Determinar un índice para cada renglón (U i para el i -ésimo renglón) y uno para cada columna (V i para la j- ésima columna) de forma tal que: U i +V j =C ij Cij: son los costos unitarios de las variables básicas. U 1 + V 1 =C 11 U 2 + V2 =C I2.. U i +V j =C ij.. U m +V n =C mn

53 53 Método simplex del problema de transporte b. Hacer U i o V j (una variable cualquiera) igual a 0,a fin de poder calcular las demás ecuaciones. Como se puede observar, siempre quedará una ecuación con una sola variable. Calculando todos los U i y los V j se continúa con el paso 2.

54 54 Método simplex del problema de transporte PASO 2 c.Determinar los costos marginales para las celdas vacías (variables no básicas). AC ij =C ij - (U i + V j ) Recuerde que AC ij es el equivalente en el simplex al costo reducido C j - Z j d.Si todos los costos marginales son cero o positivos, determinar la solución óptima con la fórmula: Si no, seleccione el costo marginal más negativo. Los empates se pueden romper arbitrariamente.

55 55 Método simplex del problema de transporte e.Diseñe un circuito cerrado con signos + y -, partiendo de la celda con marginal negativa seleccionada, con signo + y los demás por celdas llenas (este paso permite seleccionar la variable que sale y la que entra a la base). f.Seleccionar la asignación menor de los signos negativos y sumada y restada de acuerdo a los signos del circuito. g.Vaya al literal a.

56 56 Destino Origen 123Oferta A B C D Demanda Método simplex del problema de transporte

57 57 Destino Origen V1V1 V2V2 V3V3 Oferta U1U U2U U3U U4U Demanda Método simplex del problema de transporte

58 58 Plantear las ecuaciones U 1 + V 3 = 4 (1)SI U 1 = 0 U 2 + V 1 = 9 (2) U 2 = 3 V 1 =6 U 2 + V 2 = 6 (3) U 3 =-3 V 2 =3 U 2 + V 3 = 7 (4) U 4 =-1 V 3 =4 U 3 + V 1 = 3 (5) U 4 + V 1 = 5 (6)

59 59 Determinar los costos marginales de las celdas vacías AC 11 =C 11 -(U 1 -V 1 )=10-(0+6) =4 AC 12 =C 12 -(U 1 -V 2 )= 8-(0+3) =5 AC 32 =C 32 -(U 3 -V 2 )= 6-(-3+3) =6 AC 33 =C 33 - (U 3 -V3)= 9-(-3+ 4)=8 AC 42 =C 42 - (U 4 -V 2 )= 7-(-1+3) =5 AC 43 =C 43 - (U 4 -V 3 )= 6-(-1+4) =3 Todas las AC IJ son positivas, se ha alcanzado el óptimo.


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