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Raúl Plata Ortega Instituto Técnico Industrial Piloto.

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Presentación del tema: "Raúl Plata Ortega Instituto Técnico Industrial Piloto."— Transcripción de la presentación:

1 Raúl Plata Ortega Instituto Técnico Industrial Piloto

2 Elevar potencias a cualquier cantidad Reglas para elevar a la "n" potencia a cualquier cantidad (Siendo "n" cualquier número Racional)

3 b) El primer término comienza con un exponente " n " el cual, por cada término que coloquemos irá disminuyendo de uno en uno, mientras que el segundo término iniciará con un exponente cero e irá aumentando de uno en uno hasta alcanzar el valor igual a n, mientras el primer término descenderá hasta obtener un valor de cero en su exponente, con lo que queda igualado a 1 Ej: (x+y) 5 = x 5 y 0 +5x 4 y 1 +10x 3 y 2 +10x 2 y 3 +5x 1 y 4 +x 0 y 5 Teniendo en cuenta que x 0 = 1 y y 0 = 1 Apreciemos que x va disminuyendo hasta cero y y comienza en cero y llega hasta n como exponentes. Ej: (x+y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 3 + 4xy 3 + y = 5 = (n+1) a) El número de términos es igual a " n+1"

4 d) Para hallar el coeficiente de cada uno de los términos lo hacemos empezando por el primer término que debe ser igual a 1 de coeficiente por el primer término, éste elevado a la n potencia, entonces multiplicamos el coeficiente por el exponente del primer término y lo dividimos por el lugar que ocupe el término (1, 2, 3, etc) Ej: (x+y) 6 = x 6 +6x 5 y 1 +15x 4 y 2 +20x 3 y 3 +15x 2 y 4 +6x 1 y 5 +y 6 Apreciando que la suma de los exponentes de cada término suman 6 c) La suma de los exponentes siempre debe ser igual al exponente a que elevamos, en este caso " n " Entonces aplicando las reglas anteriores tenemos ya: (x+y) 9 = x 9 + 9x 8 y + 9*8÷ 2 (lugar) x 7 y *7 ÷3 (lugar) x 6 y 3 ….etc. así podríamos elevar una cantidad a cualquier potencia. Ej: Para elevar a (x+y) 9 vamos a hallar los primeros términos para no extendernos mucho: = x 9 ( Más el coeficiente por el exponente 9 y dividido por el lugar que ocupa, o sea el primero, todo esto es igual a 9, que es el coeficiente siguiente.

5 e)El número de veces que debe figurar en este caso x y "y" debe ser igual a la potencia a que estemos elevando o sea " n o sea que si la potencia a que elevamos es 6 entonces x y "y" deben figurar 6 veces f) La suma de todos los exponentes que figuren en el polinomio debe ser igual a " n 2 + n ", o sea que si la potencia a que elevamos es 5 entonces la suma de los exponentes debe ser 25+5=30 Nota: Otra forma de aplicar el binomio de Newton es mediante el triángulo de Pascal añadiéndole otras caras triangulares en donde figuren las cuatro formas posibles que son: (x+y) n ; (x-y) n ; (x+y) -n ; (x-y) -n Todas estas caras colocadas en una pirámide de la siguiente forma

6 Cara posterior (x-y) n Cara lateral Izq. (x+y) -n Cara frontal (x+y) n Cara lateral der. (x-y) -n Para todas las caras (x±y) ±n

7 Se puede apreciar que en cada una de las caras se puede hacer la realización hasta la quinta potencia mas o menos y al final tratar de colocar una que sea general a cualquiera de los casos que pueda incluirse en ella.

8 (x-y) -5 = = X X -4 y X -3 y X -2 y X -1 y -4 - y -5 Para la base que es un cuadrado se coloca la forma que generalice todos los casos o sea (x±y) ±n Para la forma (x-y) n utiliza los mismos términos que (x+y) n pero los signos van intercalados entre +, -,+, -, + etc. Para la forma (x±y) -n es igual a las dos anteriores, con la diferencia que cada uno de los términos irá bajo 1, ya que lo hacemos de la forma 1 (x±y) -n = (x±y) n n positivo Para que quede elevado a una potencia positiva pero siempre con la unidad (1) de numerador Para entenderlo mejor procedamos a explicarlo con el siguiente ejemplo: 1 (x-y) 5 1 X 5 1 5X 4 y 1 10X 3 y X 2 y Xy 4 1 y =

9 Recordemos que Para la positiva; todos los términos serán positivos X - 5 = 1 x 5 Para la demostración del triángulo es conveniente realizarlo de una manera dinámica o ya sea por medio de objetos.

10 Para iniciar el triángulo colocamos primero el número 1 porque Pascal tomó el binomio de (X+y) y lo elevó a la potencia 0 (cero) y recordemos que cualquier número elevado a la potencia cero es igual a uno

11 Demos una dimensión x y una y Y lo sacamos por superficies x 2 +xy + xy +y 2 = x 2 + 2xy +y 2 Para el siguiente renglón o sea {1 1 } según el triángulo es porque: (x+y) 1 = x+y ; con coeficientes 1 y 1 respectivamente. Para (x+y) 2 lo demostraremos con un cuadrado como lo dice la potencia a que lo vamos a elevar. x x xy x y X 2 xy y2y2 y y

12 Para la demostración del término siguiente de (x+y) 3 ; como lo dice la palabra debe ser un cubo que consta de los siguientes elementos. x 3 x x x x3x3 Un cubo con las tres dimensiones de x => x 3

13 x x y x2yx2y 3 elementos con dos dimensiones de x y una de y que será x 2 y; y como son tres => 3x 2 y

14 3 elementos; con dos dimensiones de y y una de x o sea xy 2 Y como son 3 => 3xy2 x y y y xy 2 x y y y

15 y y y y 3 Un cubo con las tres dimensiones de y quedando y 3 Uniendo de cualquier manera estos 8 elementos nos resulta un cubo con x+y de arista


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