CALCULO II M.I. GUSTAVO ROCHA BELTRAN

Presentación del tema: "CALCULO II M.I. GUSTAVO ROCHA BELTRAN"— Transcripción de la presentación:

1 CALCULO II M.I. GUSTAVO ROCHA BELTRAN
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO Facultad de Ingeniería DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS CALCULO II M.I. GUSTAVO ROCHA BELTRAN México, DF Abril 2005

2 USO DEL CARBONO 14 (14C) PARA FECHAR
Jaime González Méndez

3 La curiosidad por el tiempo
El hombre siempre ha sentido curiosidad por el tiempo. Esta curiosidad lo ha llevado a investigar sobre su pasado. Para eso se ha valido de infinidad de herramientas. Una de ellas es ubicar en el tiempo y espacio, los restos de animales, plantas, rocas etc., para poder darse una idea clara del entorno en aquellos tiempos remotos.

4 Fechamiento Al proceso de ubicar en el tiempo los restos fósiles se denomina Fechamiento o datación. Para fechar los restos fósiles de seres vivos se utiliza el 14Carbono, el que a partir de ahora identificaremos como 14C

5 ¿Qué es el Carbono 14? El Carbono 14 es un isótopo del Carbono 12 que todos conocemos, lo que lo hace diferente al 12C es que el 14C, tiene 8 neutrones en el núcleo y no 6 como es común. El 14C a diferencia del 12C es inestable y radioactivo, es decir desprende rayos b- (se desintegra) para posteriormente convertirse en Nitrógeno (14N).

6 ¿En que tiempo se desintegra el Carbono 14?
Los isótopos radiactivos como el 14C, se desin-tegran de una manera muy peculiar. Si tenemos n átomos de 14C, pasará un determi-nado tiempo t para que la cantidad por desinte-grar se reduzca a n/2 y otro tiempo t para que se reduzca a n/4, es decir en cada tiempo t se logra desintegrar la mitad de átomos de los existentes anteriormente; de ahí que se emplee el termino vida media o periodo de semidesintegracion. De esta manera vida media se define como el tiempo transcurrido en el cual el numero de átomos del carbono decae a la mitad del número inicial.

7 Tabla de vida media de algunos isótopos radiactivos
Berilio-8 10-16 seg. Polonio-213 s Aluminio-28 2.25 min. Carbono 14 5730 años Yodo-131 8 días Carbono 15 24 segundos Estroncio-90 28 años Uranio 235 7.1 x 108 años Radio 223 11.7 días Uranio 238 4.5 x 109 años Radio 224 3.64 días Cobalto-60 5,3 años Radio 225 14.8 días Radón-222 4 días Radio 226 1620 años Unnilquadio-105 32 segundos Radio 228 6.7 años Tabla No. 1

8 Desintegración de 14C Cada isótopo radiactivo tiene diferente periodo de semidesintegracion o vida media; en la tabla No. 1 se muestran algunos. De dicha tabla se obtiene que se necesitan 5730 [años] para que una cantidad cualquiera de átomos de 14C se reduzca a la mitad, es decir 5730 [años] es el valor de la vida media del 14C. El dato anterior nos conduce a la siguiente grafica.

9 Curva de desintegración de 14C
t = T1/2 Grafica No.1

10 Datación con Carbono-14 Ahora expliquémonos el porque de la posibilidad de fechar con 14C, y por que se da solo en seres vivos: Las reacciones nucleares en la atmósfera que resultan del bombardeo por los rayos cósmicos, producen una pequeña porción de 14C en CO2 (Dióxido de Carbono) de la atmósfera. Las plantas que obtiene su carbono de esta fuente contiene la misma proporción de 14C que la atmósfera. Cuando una planta muere, deja de absorber carbono y su 14C se desintegra por emisión beta menos, transformándose en 14N.

11 Ciclo de 14C Lo explicado anteriormente forma parte de un ciclo, el llamado ciclo del carbono, que se muestra en la figura No.1 Figura No.1

12 Datación con 14C En el momento en que se somete a estudio el fósil de una planta, ésta ya tiene una buena cantidad de 14C desintegrado, es ahí cuando se relaciona los átomos restantes de 14C con los originales para poder saber la edad que tiene esa planta de haber muerto. La duda ahora es, que fórmula, ecuación o artificio matemático se emplea para determinar la edad de un fósil de ser vivo a partir de los átomos restantes (aun no desintegrados) de 14C. Es ahí donde el Cálculo hace su aplicación.

13 Datación con 14C Al estudiar por primera vez un fósil de ser vivo se encuentra que conserva aún un numero cualquiera de átomos de 14C, al que llamaremos N, que en sí representa en número de átomos de 14C en un tiempo dado. Podemos también decir que un dN es el cambio en N durante un intervalo de tiempo dt.

14 Velocidad de desintegración
La razón de cambio de N es la cantidad negativa dN/dt, así pues –dN/dt se llama velocidad de desintegracion o actividad. El signo menos se explica debido a que dN siempre es negativo. La unidad para medir la actividad es el Curie (Ci), que representa 3.70 * desintegraciones/seg. dt -dN A / =

15 Velocidad de Desintegración
Si observamos nos podemos dar cuenta si tenemos una cantidad muy grande de núcleos de 14C, una cantidad muy grande también será la que se desintegrara en cualquier intervalo de tiempo. De este modo podemos decir que la actividad es directamente proporcional a N, por lo que queda: dt dN N - = l

16 Constante de Desintegración
De la ecuación anterior, la constante que convierte la proporcionalidad en igualdad se llama constante de desintegración y tiene diferentes valores para cada uno de los isótopos radiactivos. Si despejamos l vemos que es la razón del número de desintegraciones por unidad de tiempo al número de núcleos restantes. Por lo que l puede interpretarse como la probabilidad por unidad de tiempo de un núcleo individual de desintegre. N dt dN - = l Ec. 1

17 Datación con 14C La ecuación anterior se puede escribir en una forma ligeramente diferente, y esto es posible si existen No átomos en el tiempo t = 0, entonces queda: Lo que resolviendo queda: ò = - N No t dt dN l t No N Ln l - =

18 Datación con 14C No N = No N = Ao A =
La solución anterior despejando N, queda: Si esa ecuación la multiplicamos por l, se convierte en: Donde lN es también la actividad o velocidad de desintegración, y lNo la actividad inicial. De este modo la ecuación queda: t No N l - = Ec. 2 t No N l - = t Ao A l - = Ec. 3

19 Datación con 14C Si queremos expresar la ultima ecuación obtenida en su forma logarítmica, esta queda: t Ln Ao Ln A l - =

20 Gráfica en Ln A vs t Cuando se grafica la ecuación anterior, (Ln A contra t), da una recta cuya pendiente es igual a –l. t [tiempo] Ln de la Actividad Ln A = Ln Ao - lt Ln Ao

21 Calculando la Vida media de 14C
Con lo que respecta a la vida media (T1/2 ) de 14C , decimos que cuando t = T1/2,, entonces N se reduce a la mitad de la cantidad inicial o lo que es lo mismo; N = ½ No. Con lo que sustituyendo en en Ec. 2 tenemos: ó 2 1 T No l - = 2 1 T l - =

22 Calculando de Vida media de 14C
De lo anterior si aplicamos logaritmo Natural queda: De donde la vida media es: Y como l es *10-4[años-1] , T1/2 queda 2 1 T Ln l - = l 2 1 Ln T = 5730 2 1 = T [años]

23 Datación con 14C Sin embargo; de la Ec. 2 nos quedó una expresión que no es útil para determinar la Edad de un fósil de un ser vivo. la cantidad de átomos de 14C (No) presentes en la atmósfera y obviamente en el cuerpo de ser vivo en el momento de su muerte, es una constante que puede ser descubierta por otros métodos e investigaciones; por tanto, lo mas conveniente es dejar la Ecuación en términos del tiempo t.

24 Datación con 14C Entonces queda: ó
Que es ya la ecuación con la que podemos fechar o datar un fósil de ser vivo. l - = Ln No Ln N t l Ln N Ln No t - =

25 Fechamientos realizados con 14C
Muestra Edad Conocida [Años] Edad por el 14C [Años] Carbón de la caverna de Lascaux (conocida por sus pinturas rupestres) 15516 ± 900 Placa de madera de una viga del techo de la tumba del Visir Hemaka 4700±5100 4883 ± 20 Viga de ciprés de la tumba del Faraón Sneferu 4575±75 4802 ± 210 Cornamenta de venado de una reservación India en el Condado de Butler, Kentucky 4333 ± 450 Madera de la cubierta de la nave sepulcral de la tumba del faraón Sesostris III 3750 3621 ± 180 Pintura de Bosquimanos, Sudáfrica 3368 ± 200 Madera de una secoya gigante conocida como el Tocón Centenario, caída en 1874 2928 ± 51 2710 ± 130 Rollos del Mar Muerto 2054 ± 100 1917 ± 200

26 Restricciones del Fechamiento con 14C
Como todo buen método, el fechamiento con 14C también tiene restricciones o limitaciones: Solo puede medir la edad de fósiles no mayor a años, debido a que después de 7 vidas medias la cantidad de 14C contenida en un fósil es tan escasa que no es posible detectar. Solo puede calcular la edad seres vivos; no de rocas o algún material mineral.

27 Conclusiones Con todo lo investigado anteriormente doy por terminado un proyecto en el que una vez mas el Cálculo tiene aplicación, situación que lo hace interesante. Concluyo que el proyecto realizado sirvió para darme cuenta de las aplicaciones verdaderas que el Cálculo tiene, cuestión que no se ve en el aula. Espero que el trabajo realizado por un servidor sea, útil para aquellos lectores que desee entender, el proceso e Datación con 14C.

28 ¡Gracias! Universidad Nacional Autónoma de México
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