EL MODELO VAN HIELE De los educadores holandeses Dina Van Hiele Geldof y su esposo Pierre Marie Van Hiele Ana Rodríguez Chamizo anarchamizo@gmail.com

Presentaremos una panorámica del modelo y sus implicaciones en el aula El modelo VAN HIELE de pensamiento geométrico ayuda a guiar la enseñanza y el aprendizaje de la geometría, así como a evaluar las habilidades de los alumnos La enseñanza consistirá en llevar a una persona que se encuentra ante una actividad matemática concreta en el nivel i hasta el siguiente, i+1 Si se consigue, ha habido aprendizaje

EL MODELO está conformado por cinco niveles de entendimiento: visualización análisis deducción informal deducción formal rigor que describen características del proceso de pensamiento, auxiliado por experiencias de aprendizaje adecuadas

NIVEL 0 o BÁSICO: VISUALIZACIÓN En esta primera etapa, los estudiantes son conscientes del espacio como algo que existe alrededor de ellos. Los conceptos geométricos se ven globalmente Las figuras geométricas son reconocidas por su forma como un todo, por su apariencia física y no por sus partes o propiedades

Una persona que funciona a este nivel puede: Aprender vocabulario geométrico identificar formas especificadas reproducir una figura dada

Por ejemplo Dados varios cuadriláteros , los alumnos pueden reconocer si hay cuadrados en y rectángulos, porque son similares en sus formas a cuadrados y rectángulos con los que se ha encontrado previamente Dado un geoplano o un papel, podrían copiar las superficies No reconocerían que las figuras tienen ángulos rectos o que los lados opuestos son paralelos

NIVEL 1: ANÁLISIS A través de la observación y la experimentación los estudiantes empiezan a discernir las características de las figuras Las propiedades que surgen se usan para clasificar formas Las figuras se reconocen mediante sus partes

EJEMPLO DE ACTIVIDAD DEL NIVEL 1 Dada una red de paralelogramos los estudiantes podrían, "coloreando" los ángulos iguales, " establecer" que los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales Después de usar varios ejemplos de este tipo, podrían hacer generalizaciones para cualquier clase de paralelogramos

Nivel 1 Las relaciones entre propiedades aún no pueden ser explicadas por los estudiantes en este nivel No se ven las interrelaciones entre las figuras No se entienden las definiciones

NIVEL 2: DEDUCCIÓN INFORMAL Se pueden establecer las interrelaciones en las figuras y entre figuras deducir propiedades de una figura y reconocer clases de figuras Se entiende la inclusión de clases Las definiciones adquieren significado

EJEMPLO DEL NIVEL 2 En un cuadrilátero, para que los lados opuestos sean paralelos, es necesario que los ángulos opuestos sean iguales Entre figuras: un cuadrado es un rectángulo porque tienen todas sus propiedades

El estudiante en el nivel 2, no comprende el significado de la deducción como un todo, ni el rol de los axiomas cómo podría alterarse el orden lógico cómo articular una demostración a partir de premisas, aunque pueden seguir pruebas formales Algunos resultados obtenidos de manera empírica coexisten con técnicas de deducción

NIVEL 3: DEDUCCIÓN FORMAL Se entiende el significado de la deducción como una manera de establecer una teoría geométrica mediante un sistema de axiomas, postulados, definiciones, teoremas y demostraciones Se pueden construir, y no sólo memorizar, demostraciones, percibir la posibilidad del desarrollo de una prueba de varias maneras, entender la interacción de condiciones necesarias y suficientes y distingue entre una afirmación y su recíproca

NIVEL 4: RIGOR Se puede trabajar en una variedad de sistemas axiomáticos Pueden estudiarse geometrías no euclideas y compararse diferentes sistemas La geometría se capta en forma abstracta Este es el nivel final que se desarrolla en los trabajos originales y ha recibido poca atención por parte de los investigadores

1. SECUENCIAL Como en la mayoría de las teorías sobre el desarrollo, una persona debe avanzar en orden a lo largo de los niveles Para tener éxito en un nivel particular, quien aprende debe haber asimilado las estrategias de los niveles precedentes

2. ASCENSO Pasar o no de un nivel a otro depende más del contenido y los métodos de instrucción recibidos que de la edad Ningún método de enseñanza lleva a un estudiante a brincar un nivel, algunos incrementan los progresos, mientras que otros retardan o incluso previenen un movimiento entre niveles

3. INTRÍNSECO Y EXTRÍNSECO Los objetos inherentes a un nivel se convierten en objetos de estudio en el siguiente Por ejemplo, en el nivel 0 sólo se percibe la forma de una figura Aunque está determinada por sus propiedades, sólo puede analizarse la figura y descubrir sus componentes y sus propiedades cuando se alcanza el nivel 1

4. LINGÜÍSTICO Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y sus propios sistemas de relaciones para conectar esos símbolos Una relación "correcta" en un nivel puede ser modificada en otro Por ejemplo, inicialmente, un cuadrado puede ser un rectángulo y, posteriormente, considerarlo como un paralelogramo

LINGÜÍSTICO Un estudiante en el nivel 1 no concibe que pueda darse realmente esta clase de inclusiones Este tipo de nociones y su lenguaje correspondiente, sin embrago, son fundamentales para el nivel 2

5. FALTA DE CONCORDANCIA Si un estudiante está en un nivel y la instrucción que recibe en otro, puede que no ocurra el aprendizaje y el progreso deseado En particular si el discurso del profesor, los materiales didácticos para la enseñanza, los contenidos, el vocabulario, etc., están en un nivel más alto, al estudiante no le será posible seguir el proceso de pensamiento empleado

FASES DE APRENDIZAJE Los Van Hiele afirman que el avance a través de los niveles depende más de la enseñanza recibida que de la edad o madurez El método y organización de la enseñanza, además del contenido y los materiales empleados, son áreas importantes de referencia pedagógica

FASES DE APRENDIZAJE Propusieron cinco fases secuenciales de aprendizaje: diagnóstico, orientación dirigida, explicitación, orientación libre e integración La enseñanza desarrollada de acuerdo con esa secuencia promueve la adquisición de un nivel  

MUESTRA DE ACTIVIDADES DE TRABAJO CON EL ROMBO DESDE EL NIVEL 2 El profesor y los estudiantes conversan y hacen actividades acerca de los objetivos de estudio para ese nivel Se hacen observaciones, se plantean preguntas y se introduce el vocabulario específico

Por ejemplo, el maestro pregunta a los estudiantes: "¿Qué es un rombo? ¿Es un cuadrado? ¿Es un paralelogramo? ¿Qué es lo que el tiene en común con un cuadrado (paralelogramo)? ¿Qué diferencias hay entre un cuadrado (paralelogramo) y un rombo? ?...

El propósito de esa actividad es doble: FASE 1: DIAGNÓSTICO ¿Es posible que un cuadrado sea un rombo? ¿Un rombo podría ser un cuadrado? ¿Cómo se diría eso? El propósito de esa actividad es doble: el profesor observa qué conocimiento previo tienen los estudiantes acerca del tema los estudiantes aprenden en qué dirección se dará el estudio posterior del mismo

FASE 2: ORIENTACIÓN DIRIGIDA Los estudiantes exploran el tema de estudio mediante materiales que el profesor ha ordenado cuidadosamente Esas actividades podrían revelar gradualmente a los estudiantes las estructuras características de este nivel La mayoría de los materiales serán tareas breves, diseñadas para lograr respuestas específicas  

FASE 2: ORIENTACIÓN DIRIGIDA Por ejemplo, el profesor podría pedir a los estudiantes que usen un geoplano para construir un rombo, con diagonales iguales, para construir otro más grande, para construir un tercero más pequeño Otra actividad podría consistir en pedir la construcción sucesiva de rombos que tengan respectivamente cuatro, tres, dos, y un ángulo recto

FASE 3: EXPLICITACIÓN Al construir sobre sus experiencias previas, los estudiantes expresan e intercambian sus expresiones acerca de las estructuras que han estado observando El papel del profesor es ayudarles en el uso de un lenguaje cuidadoso y apropiado Durante esa fase el sistema de relaciones del nivel comienza a hacerse claro

FASE 3: EXPLICITACIÓN Continuando con el ejemplo del rombo… los estudiantes discutirían entre ellos y con el profesor qué figuras y propiedades surgieron de las anteriormente dichas

FASE 4: ORIENTACIÓN LIBRE Los estudiantes se encuentran con tareas más complejas: con muchos pasos que pueden ser completadas de varias maneras de final abierto Ganan experiencia al constatar sus propias maneras de resolverlas Se hacen explícitas muchas relaciones entre los objetos de estudio

FASE 4: ORIENTACIÓN LIBRE. EJEMPLO Completar: Dobla una hoja de papel a la mitad Haz un segundo doblez a la mitad Trata de imaginar qué figura se obtendría si cortas una de las esquinas Haz una conjetura y justifícala antes de cortar ¿Qué tipo de figuras obtiene si hace un corte en la esquina con un ángulo de 30°? ¿Y si lo haces con uno de 45°? Describe los ángulos y el punto de intersección de las diagonales

FASE 4: ORIENTACIÓN LIBRE En esta fase es donde se diversifica el aprendizaje Unos alumnos podrán consolidar lo aprendido mediante juegos de grupo usando materiales: dominós, cartas, tableros… los que necesiten la ayuda directa del profesor harán otras actividades otros resolverán problemas...

FASE 5: INTEGRACIÓN El profesor, al final del proceso, pone en orden todo lo que ha ido apareciendo en las fases anteriores y ordena el conocimiento Es el momento de explicar y cerrar el tema