Cálculo de primitivas (2) Integrales racionales e irracionales Símbolo integral de Wikimedia Commons

¿Qué es una integral racional? Es una integral del tipo: donde P(x) y Q(x) son polinomios. El método de cálculo se basa en la descomposición de la función racional en suma de otras funciones racionales más sencillas cuyas integrales son fáciles de calcular.

Primer paso Si el grado del numerador es igual o mayor que el del denominador podemos hacer la división de los polinomios y tendremos que: Donde C(x) es el cociente de la división y R(x) el resto. Así, tenemos que:

Teorema de descomposición Toda fracción algebraica, con el numerador de menor grado que el denominador, puede descomponerse en fracciones simples de dos tipos: donde a y A son números reales y n es un número natural. donde b, c, M y N son números reales y m es un número natural.

Integración de las funciones racionales Los pasos a dar en el proceso son: Dividir numerador entre denominador si el grado de éste es menor o igual que el del numerador. Hacer la descomposición en fracciones simple. Calcular las primitivas de las fracciones simples que pueden ser de tres tipos:

Integrales irracionales Son aquellas en las que aparecen raíces de expresiones polinómicas. Estudiamos dos tipos: Integrales de una función racional de la variable x y de raíces de un polinomio de primer grado: Integrales de la raíz cuadrada de un polinomio de segundo grado o de su inversa:

Mathematics concept collage de Wikimedia Commons Método de resolución Las integrales del primer tipo se resuelven mediante cambios de variable del tipo tn =ax+b, donde n es el MCD de los índices de las raíces. Mathematics concept collage de Wikimedia Commons Las integrales del segundo tipo se resuelven mediante cambios de variable trigonométricos que dependen del tipo de resultado que obtenemos al “completar el cuadrado” del radicando.

Integrales trigonométricas Una integral de un producto de potencias (de exponentes entro positivos o negativos) de sen x y cos x, es decir: Se resuelve con un cambio de variable, que la transforma en una integral racional, y que depende de los exponentes n y m. Los cambios apropiados son: Si n es impar el cambio que debe hacerse es: t = cos x Si m es impar el cambio que debe hacerse es: t= sen x Si n y m son pares el cambio que debe hacerse e: t = tan x