@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 U.D. 4 * 3º ESO E.AC. Polinomios

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 U.D. 4.8 * 3º ESO E.AC. RESTO, RAÍZ Y FACTOR DE UN POLINOMIO

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 TEOREMA DEL RESTO TEOREMA DEL RESTO El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x ‑ a), es el valor del polinomio al sustituir la variable x por el valor de a. R=P(a) Si el binomio es de la forma (x + a), sustituiremos la x por ‑ a. Demostración Al dividir P(x) entre (x – a), como el divisor (x – a) es de grado uno, el resto debe ser de grado menor que uno, o sea cero. El resto pues es un número. En toda división: Dividendo = divisor x cociente + resto P(x) = (x – a).C(x) + R Si x=a entonces (x – a) = (a – a) = 0 y queda: P(a) = R

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 Ejemplo 1 Ya hemos visto al hacer la división: ( x x ) : ( x - 3 ), que el resto es 58 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(3)= = – 5 = 58 Ejemplo 2 Ya hemos visto al hacer la división: ( x x ) : ( x + 5 ), que el resto es – 30 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(-5)= (-5) (-5) = – 5 = - 30 Ejemplo 3 Ya hemos visto al hacer la división: ( 4.x x - 3 ) : ( x + 2 ), que el resto es – 45 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(-2)= 4.(-2) (-2) - 3 = - 32 – 10 – 3 = - 45 EJEMPLOS

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 RAIZ DE UN POLINOMIO RAÍZ DE UN POLINOMIO Si el resto es cero, la división es exacta y el valor de a se dice que es una raíz del polinomio. P(x) = (x – a).C(x) + R Si R=0  P(x) = (x – a).C(x) A tener en cuenta: Si un polinomio es de grado n, tendrá como máximo n raíces reales. Si un polinomio es de grado impar tendrá obligatoriamente una raíz real. Si un polinomio es de grado par tendrá 0, 2, 4, … raíces reales; o ninguna o un número par de raíces.

RAÍCES ENTERAS DE UN Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente. Sea P(x) = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d Donde a, b, c y d son números enteros. Se debe cumplir, si r es una raíz de P(x): a.r 3 + b.r 2 + c.r + d = 0 r.(a.r 2 + b.r + c) = - d Vemos que r es un factor de – d O sea, que r es un divisor entero de d. Si el polinomio P(x) no presenta término independiente, x=0 será una raíz o solución de la ecuación P(x) = 0

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 TEOREMA DEL FACTOR El polinomio P(x) es divisible entre el binomio (x – a) si x=a es una raíz del polinomio P(x). Demostración Por el Teorema del Resto tenemos que: R = P(a) Si a es una raíz del polinomio P(x), entonces P(a) = 0 Luego si a es una raíz de P(x), el resto R es 0, y entonces P(X) es divisible entre (x – a). Aplicación: Factorización de polinomios Si P(x) es divisible entre (x – a) podemos poner: P(x) = (x – a). C(x) Siendo C(x) el cociente (polinomio) de la división. De esta forma P(x) ha quedado factorizado, ha quedado como producto de factores. Por tanto (x – a) es un factor de P(x).

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 Ejemplo 1 P(x) = 3.x x  Extraemos factor común a x P(x) = x.(3.x ) Ejemplo 2 P(x) = 4.x x 2  Extraemos factor común a x P(x) = x.(4.x x ) = x 2 (4.x ) = x 2 (2.x + 3 ) (2.x - 3 ) Ejemplo 3 P(x) = x 2 – 6.x + 9 = (x – 3) 2 = (x – 3).(x – 3) Ejemplo 4 25 – x 2 = (5 + x ). ( 5 – x )

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO9 Ejemplo 5 Factorizar: P(x) = x x x + 1 Por el Teorema del Resto: P(1) = 1 – = 0 Como P(1) =0  x = 1 es una raíz de P(x) y por tanto (x – 1) es un factor de P(x) Dividimos P(x) entre (x – 1) por la Regla de Ruffini: Luego P(x) = (x – 1).(x 2 – 3.x – 1) Y ya estaría factorizado P(x). Nota: Si el cociente de la división, (x 2 – 3.x – 1), tiene más raíces, habría que seguir factorizando.

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 Ejemplo 6 Factorizar: P(x) = x x x – 6 Por el Teorema del Resto: P(1) = 1 – – 6 = 0 Como P(1) =0  x = 1 es una raíz de P(x) y por tanto (x – 1) es un factor de P(x) Dividimos P(x) entre (x – 1) por la Regla de Ruffini: Luego P(x) = (x – 1).(x 2 – 5.x + 6) Y ya estaría factorizado P(x). Pero el cociente, C(x) = (x 2 – 5.x + 6), tiene más raíces, x=2 y x=3, por lo cual quedaría: P(x) = (x – 1).(x – 2).(x – 3)