@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 U.D. 12 * 3º ESO E.AC. FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 U.D * 3º ESO E.AC. PASO ENTRE FORMAS DE FUNCIÓN LINEAL

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 Paso entre formas de una función Si una función lineal o afín viene dada en forma de Tabla o Gráfica, de modo que conocemos dos puntos por donde pasa: P 1 =(0, 0), P 2 =(x 2,y 2 ) en lineales ; P 1 =(x 1,y 1 ), P 2 =(x 2,y 2 ) en afines Se tiene que cumplir: y 1 =m.x 1 +n ; y 2 =m.x 2 +n Lo cual forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ( m y n ) que resolveríamos También en todas las funciones cuya gráfica sea una recta: y 2 – y 1 Calculamos m = y a continuación hallamos n. x 2 – x 1 Como y 2 = m.x 2 + n, despejamos n: n = y 2 – m.x También, conocida la pendiente m, tenemos: y – y 2 m = y operando queda: y – y 2 = m.(x – x 2 )  y = m.(x – x 2 )+ y 2 x – x 2

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO Paso de expresión a Tabla 1.-Sea la función y= 3x Hacer una tabla de valores y dibujarla. Indicar si es creciente o decreciente. Tabla de valores xy Al aumentar el valor de x aumenta el valor de y, luego la función es creciente. m=3 >0  Creciente x y

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO Paso de expresión a Tabla 2.-Sea la función y=-2x Hacer una tabla de valores y dibujarla. Indicar si es creciente o decreciente. Tabla de valores xy Al aumentar el valor de x disminuye el valor de y, luego la función es decreciente. m= – 2 < 0  Decreciente x y

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO Paso de expresión a gráfico 3.-Sea la función y= 2 - x Hacer una tabla de valores y dibujarla. Indicar si es creciente o decreciente. Tabla de valores xy Al aumentar el valor de x disminuye el valor de y, luego la función es decreciente. m=– 1 < 0  Decreciente x y

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO Paso de expresión a gráfico 4.-Sea la función y= x/2 - 3 Hacer una tabla de valores y dibujarla. Indicar si es creciente o decreciente. Tabla de valores xy Al aumentar el valor de x aumenta el valor de y, luego la función es creciente. m=1/2 >0  Creciente x y

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 EJEMPLO 1 Una función lineal pasa por el punto A(4,5). Hallar su pendiente y su ecuación. m=y/x  m= 5/4 = 1,25  y=mx  y = 1,25.x EJEMPLO 2 Una recta para por el O(0, 0) y por el punto B(-2,3). Hallar su ecuación. Al pasar por el origen de coordenadas es una función lineal (y = m.x). m=y/x  m= 3/(-2) = -1,5  y=mx  y = -1,5.x EJEMPLO 3 Al comprar 100 gr de mortadela nos han cobrado 2 €. ¿Es una función lineal?.¿Por qué?. Hallar su pendiente y su ecuación. El precio de cada gramo es el mismo y suponemos no nos cobran el envoltorio, por lo cual suponemos que es una función lineal. m=y/x  m= 2/100 = 0,02  y=mx  y = 0,02x Paso de Tabla a Expresión

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO9 Ejemplo 4 Nos dan un gráfico de una línea recta nos piden la ecuación de dicha línea o función afín. Resolución: Tomamos dos puntos cualesquiera del gráfico: P 1 =(-2, -6), P 2 =(5, 1) Hallamos el valor de la pendiente: y 2 – y 1 1 – (– 6) m = = = 7 / 7 = 1 x 2 – x 1 5 – ( -2) Como y=mx+n Tomando un punto:1 = m.5 +n Sustituyendo:1 = 1.5+n 1 = 5+n  1 – 5 = n  n = – 4 Luego: f(x) = x – 4 Al ser m positiva la función es creciente. Gráfico Expresión f (x) = x – Paso de Gráfica a Expresión

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 Ejemplo 4 Una función afín viene dada por dos puntos: P 1 =(4, 3), P 2 =(5, -7) Obtener su expresión algébrica o fórmula. Resolución: Como y=mx+n Calculamos el valor de la pendiente: y 2 – y 1 – 7 – 3 m = = = - 10 / 1 = - 10 x 2 – x 1 5 – 4 Tomando un punto:3 =m.4 +n 3 = (– 10).4 + n 3 = – 40 + n  = n  n = 43 Luego: f(x) = – 10.x + 43 Al ser m negativa la función es decreciente. Tabla de valores x y Expresión f (x) = -10.x + 43 Paso de Tabla a Expresión

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO11 Ejemplo 5 Nos dan un gráfico de una línea recta nos piden la ecuación de dicha línea. Resolución: Tomamos dos puntos cualesquiera del gráfico: P 1 =(2, 7), P 2 =(5, 21) Al no pasar por el O(0, 0) es una función afín. Como y = m.x + n Calculamos el valor de la pendiente: y 2 – y 1 21 – 7 m = = = 14 / 3 x 2 – x 1 5 – 2 Tomando un punto conocido: P 1 =(2, 7) 7 = (14/3).2 + n  n = 7 – 28/3 = – 7/3 Luego: f(x) = (14/3).x – 7/3 Expresión f (x) = (14/3).x – 7/ Paso de Gráfica a Expresión Gráfico

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO12 FÓRMULA PUNTO-PENDIENTE Si nos dan un punto por donde pasa una recta y el valor de la pendiente (inclinación), podemos calcular su expresión con independencia de que sea una función lineal o afín. En ambos casos siempre se cumple que: m=Δy/Δx Que la podemos calcular así: y 2 – y 1 y 3 – y 2 y 3 – y 1 m = = = = …. x 2 – x 1 x 3 – x 2 x 3 – x 1 En general: y – y o m = , siendo (x, y) un punto cualquiera de la recta; y (x o, x o ) x – x o siendo (x, y) un punto cualquiera de la recta; y (x o, y o ) un punto conocido. Operando: y – y o = m.(x – x o ) Que es la Ecuación Punto-Pendiente de una recta. Despejada y tenemos la función lineal o afín correspondiente. FÓRMULA PUNTO-PENDIENTE

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO13 Ejemplo 6 Una función afín viene dada por dos puntos: P 1 =(3, 4), P 2 =(5, -2) Obtener su expresión algébrica. Resolución: Como y=mx+n Calculamos el valor de la pendiente: y 2 – y 1 – 2 – 4 m = = = - 6 / 2 = - 3 x 2 – x 1 5 – 3 Aplicamos la fórmula PUNTO-PENDIENTE: Como y – y 2 = m. (x – x 2 ) y – ( – 2) = – 3.(x – 5) Operando: y = –3.x + 15 – 2 Queda: y = –3.x + 13 Tabla de valores x y Expresión f (x) = - 3.x + 13 Paso de Tabla a Expresión

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO14 Ejercicios (I)

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO15 Ejercicios (y II)