Matrices

DEFINICIONES BÁSICAS Una matriz es un cuadro de números que encerraremos entre corchetes o paréntesis. Diremos que una matriz con m filas y n columnas tiene dimensión mxn filas 1 2 3 4 5 6 Matriz de dimensión 2x3 columnas 2 3 -4 21 7 Matriz 1x5 o vector fila 2 4 -1 Matriz 3x1 o vector columna 3 9 1 Matriz 2x2 o matriz cuadrada de orden 2

Diagonal principal de una matriz son los elementos aii Notación Las matrices se designan con letras mayúsculas. Los elementos de la matriz se designan con la misma letra pero minúscula y con dos subíndices: el primero indica la fila y el segundo la columna a11 a12 a13 ……. a1j …… a1n a21 a22 a23 a2j a2n …. ….. ai1 ai2 ai3 ........ aij ain … am1 am2 am3 amj amn Elemento que ocupa la fila 2 y columna 3 =(aij) A= Diagonal principal de una matriz son los elementos aii Igualdad de matrices: A=B si tienen la misma dimensión y aij=bij Algunos tipos particulares de matrices: matriz cuadrada: m=n matriz triangular: los elementos por debajo de la diagonal principal son 0. matriz simétrica: aij=aji (tiene que ser cuadrada) matriz traspuesta de A(mxn)  At (nxm) aij->aji

+ = -1 3 5 8 6 1 -1 3 5 8 6 Diagonal principal Matriz triangular 6 1 -1 3 5 8 6 Diagonal principal Matriz triangular Matriz simétrica -1 3 -2 8 7 9 4 5 6 -1 3 9 5 8 6 -2 7 4 A= Matriz traspuesta At= Suma de matrices: A(mxn)+B(mxn)=C(mxn) cij = aij + bij -1 3 9 5 8 6 -2 7 4 -8 1 6 -3 7 11 4 5 -9 4 15 2 3 17 8 10 + = Producto de un número, t, por una matriz: A(mxn) tA=( taij ) -1 3 9 5 8 6 -2 7 4 -2 6 18 10 16 12 -4 14 8 A= 2A=

Ejemplo: dadas las matrices A, B, C calcula 2A-3B+4C -1 3 9 5 8 6 -2 7 4 -2 1 3 2 -6 -3 7 -3 3 6 8 -2 5 A= B= C= Propiedades de la suma de matrices: conmutativa: A+B=B+A asociativa (A+B)+C=A+(B+C) matriz nula representada por (0) todos los elementos son 0. Se cumple A+(0)=A matriz opuesta de A=(aij), -A=(-aij) Se cumple: A+(-A)=(0) -1 3 8 Ejemplo: dada la matriz A = , halla X tal que 2A+X=(0)

Propiedades del producto de un número por una matriz: asociativa a·(b·A)=(a·b)·A 1·A=A 0·A=(0) (a+b)·A=a·A+b·A a·(A+B)=a·A+a·B ¡Atención! Es incorrecto: A·5 ó 1) Halla las matrices A y B que verifican: 2 1 -2 4 8 6 2 -4 -1 3 8 A= B= 2A+3B = 3A-B = Sol: 2) Halla las matriz X que cumple la ecuación matricial: -2B-A+2X=3A siendo: 6 1 4 5 1 -1 2 3 4 1 2 -1 3 Sol: X= A= B=

A · B = C mxp pxn mxn PRODUCTO DE MATRICES Sólo se puede hacer el producto A·B si el nº de columnas de A es igual al número de filas de B A · B = C mxp pxn mxn Cada elemento de la matriz producto cij se obtiene multiplicando la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B y sumando estos productos 4 2 -5 6 3 -1 5 -1 3 9 5 8 6 -2 7 4 (-1)·4+3·(-5)+9·3+5·5 (-1)·2+3·6+9·(-1)+5·6 3·4+8·(-5)+0·3+6·5 3·2+8·6+0·(-1)+6·6 (-2)·4+7·(-5)+4·3+5·5 (-2)·2+7·6+4·(-1)+5·6 23 37 2 90 -6 64 = = 3x2 3x4 4x2 En general: cij=ai1·b1j+ai2·b2j+…+aipbpj

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Asociativa: A·(B·C)=(A·B)·C Distributiva: A·(B+C)=A·B+A·C Existe elemento neutro para el producto de matrices cuadradas que llamaremos matriz identidad I, matriz cuya diagonal principal está formada por 1 y todos los demás elementos son 0 1 Se cumple: A·I=I·A=A para cualquier matriz A I= -3 3 6 8 -2 5 2 Ejemplo: comprueba que A·I=I·A=A siendo A = En general, no se cumple la propiedad conmutativa (ni siquiera para matrices cuadradas) 1 1 3 2 Ejemplo: comprueba que A·B≠B·A siendo A = B=

Matriz inversa de una matriz cuadrada: Dada una matriz A, llamaremos inversa de A y la designaremos por A-1 a otra matriz de la misma dimensión que cumpla: A· A-1 =A-1·A=I No todas las matrices tienen inversa. Si una matriz tiene inversa diremos que es invertible o regular Ejemplo: utilizando la definición, halla A-1 y B-1 2 -1 1 1 3 2 6 A= B= x y z t Ayuda: haz A-1 y plantea un sistema de ecuaciones 1/3 -1/3 2/3 Solución: B no tiene inversa; A-1=

Vectores. Rango de un conjunto de vectores. Llamaremos Rn al conjunto de todos los vectores columna de n elementos (es decir matrices nx1. Los vectores de Rn se llaman también n-tuplas y se representan así: Por ejemplo: Los vectores de Rn se pueden sumar entre sí y también podemos multiplicar un número por un vector Ejemplo:

Dados los vectores: Llamaremos combinación lineal (C.L.) de estos vectores a cualquier otro vector que se pueda expresar de la siguiente forma: siendo números es C.L. de: y ya que: Diremos que un conjunto de vectores es libre o Linealmente Independiente (L.I.) si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás Diremos que un conjunto de vectores es ligado o Linealmente Dependiente (L.D.) si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás Ejemplo: averigua si los siguientes conjuntos son L.I. o L.D.

Llamamos rango de un conjunto de vectores al número máximo de vectores linealmente independientes. Ejemplo: calcula el rango de los conjuntos anteriores 2, 2, 1, 3 Llamamos rango de una matriz al rango del conjunto formado por sus vectores columna. Los vectores columna de la matriz A se suelen representar por A1 ; A2;….Am rang(A)=2 Ejemplo: calcula el rango de las matrices:

Propiedades del rango de una matriz: el rango de los vectores fila coincide con el rango de los vectores columna el rango de una matriz no varía si eliminamos una columna (o fila) que es C.L: de las demás columnas (filas) el rango no varía si multiplicamos una columna (o fila) por un nº distinto de 0 el rango no varía si sumamos a una columna (fila) una C.L. de las demás columnas (filas) Ejemplo: calcula el rango:

Expresión matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales: A · X = B Matriz de coeficientes o matriz del sistema Vector de términos independientes Vector de incógnitas (solución) Si la matriz A tiene inversa y sabemos calcularla: A · X = B A-1 ·(A · X) = A-1 B (A-1 A) · X = A-1 B I · X = A-1 B X = A-1 B Ejercicio: comprueba que la matriz inversa de A del ejemplo anterior es A-1 y calcula con esta fórmula la solución del sistema Solución: SCD x=-4, y=6, z=1