UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE BOLIVAR COORDINACION GENERAL DE ESTUDIOS DE POSTGRADO POSTGRADO EN CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MENCION FINANZAS. VI COHORTE.

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1 UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE BOLIVAR COORDINACION GENERAL DE ESTUDIOS DE POSTGRADO POSTGRADO EN CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MENCION FINANZAS. VI COHORTE MATEMATICA APLICADA A LA ADMINISTRACION CODIGO # 806-3120 SECCION A PROF. HUGAR CAPELLA

2 Matrices. Parámetros básicos Definiciones básicas Una matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A de números reales con m reglones (o filas) y n columnas. (Reglones son horizontales y columnas son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A. Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La entrada en la fila o reglón i y columna j se llama a ij o A ij. A = 01203 A 13 = 2 1/3 -1 101/32 3101 -3-3 21001 Ejemplo Aquí es una matriz 4×5.. 2

3 EJEMPLO: UNA EMPRESA QUE FABRICA TELEVISORES PRODUCE TRES MODELOS CON DISTINTAS CARACTERISTICAS EN TRES TAMAÑOS DIFERENTES. LA CAPACIDAD DE PRODUCCION EN LA PLANTA DE VALENCIA (EN MILES) ESTA DADA POR LA MATRIZ A A = 5 3 2 7 4 5 1084 TAMAÑO I (20 PULG)= 5X +3Y+2Z TAMAÑO II (23 PULG) = 7X+4Y+5Z TAMAÑO III(26 PULG) =10X+8Y+4Z (EN MILES) B = 5 3 2 7 4 5 1084 LA MATRIZ B DEFINE LA CAPACIDAD DE PRODUCCION DE LA OTRA PLANTA DE LA EMPRESA ( PTO ORDAZ) (AMBAS SON MATRICES CUADRADAS) 3

4 Operaciones con matrices Trasposición La matriz traspuesta, A T, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A una matiz m×n y B = A T, entonces B es la matriz n×m con b ij = a ji. Suma, Resta Sea A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B) ij = A ij + B ij. En forma parecida, sus resta, A - B, obtiene restando entradas correspondientes. En símbolos, (A - B) ij = A ij - B ij. Producto escalar Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el producto escalar por la matriz, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA) ij = c(A ij ). Producto Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimenciones m×p. La entrada (AB) ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados. 4

5 Á lgebra de matrices A+(B+C) = (A+B)+CRegla asociativa de adición A+B = B+ARegla conmutativa de adición A+O = O+A = ARegla unidad de adición A+( - A) = O = ( - A)+A Regla inversa de adición c(A+B) = cA+cBRegla distributiva (c+d)A = cA+dARegla distributiva 1A = AUnidad escalar 0A = OCero escalar A(BC) = (AB)CRegla asociativa de multiplicación AI = IA = ARegla unidad de multiplicación A(B+C) = AB + ACRegla distributiva La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos: I ij = 1 si i = j y I ij = 0 si i j. Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero. En Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas: 5

6 (A+B)C = AC + BCRegla distributiva OA = AO = O Multiplicación por matriz cero (A+B) T = A T + B T Trasposición de una suma (cA) T = c(A T )Trasposición de un producto escalar (AB) T = B T A T Trasposición de un producto matriz Á lgebra de matrices La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general 6

7 MATRIZ IDENTIDAD Y MATRIZ CERO Matriz identidad I = 1000 0100 0010 0001 0=0= 0000 0000 0000 0000 Matriz Cero 7

8 012 T 1/3 -110 = 01/3 1 -1 210 Ejemplos Trasposición 01 + 2 1/3 -1 1 -1 = 2/3 -2-2 2 -1 5/3 -5-5 Suma y producto escalar 01 1/3 -1 1 -1 2/3 -2-2 = -2-2 - 1/35/3 Producto 8

9 9 EJEMPLO DE PRODUCTO ENTRE MATRICES

10 PRODUCTO DE DOS MATRICES OTRAS OPERACIONES 10

11 De la lamina 3 SUMA Y PRODUCTO ESCALAR EJEMPLO: UNA EMPRESA QUE FABRICA TELEVISORES PRODUCE TRES MODELOS CON DISTINTAS CARACTERISTICAS EN TRES TAMAÑOS DIFERENTES. LA CAPACIDAD DE PRODUCCION EN LA PLANTA DE VALENCIA (EN MILES) ESTA DADA POR LA MATRIZ A A = 5 3 2 7 4 5 1084 TAMAÑO I (20 PULG)= 5X +3Y+2Z TAMAÑO II (23 PULG) = 7X+4Y+5Z TAMAÑO III(26 PULG) =10X+8Y+4Z (EN MILES) B = 4 5 3 9 6 4 8122 LA MATRIZ B DEFINE LA CAPACIDAD DE PRODUCCION DE LA OTRA PLANTA DE LA EMPRESA ( PTO ORDAZ) 11

12 Hallar: a) CUAL ES LA CAPACIDAD DE PRODUCCION TOTAL DE LA EMPRESA EN LAS DOS PLANTAS? A+B = 5 3 2 7 4 5 1084 + 4 5 3 9 6 4 8122 = 9 8 5 16 10 9 18206 b) Cual es nueva producción total si la producción de la planta en Puerto Ordaz se incrementa en un 20 % 12

13 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Forma matriz de un sistema de ecuaciones lineales Una aplicación importante de multiplicación entre matrices es la siguiente: El sistema de ecuaciones lineales a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n =b1b1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n =b2b2.............. a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 +... + a mn x n =bmbm 13

14 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A = A = a 11 a 12 a 13...a 1n a 21 a 22 a 23...a 2n..... a m1 a m2 a m3...a mn se puede escribir como la ecuación matriz AX = B donde X = [x 1, x 2, x 3,..., x n ] T y B = [b 1, b 2, x 3,..., b m ] T 14

15 EJEMPLO: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES x+y - z=4 3x3x+y - z=6 x+y - 2z2z=4 11 -1 x = 4. 31 -1 y6 11 -2-2 z4 Su forma matricial AX=B 15

16 METODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES APLICANDO MATRICES. DADO EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES: 2X – 2Y = 4 X + 3Y = 5 Método a)Intercambio de filas o renglones b)Multiplicación o división de una fila por una constante distinta de cero c)Adición o sustracción de un múltiplo constante de una fila a (o de) otra fila. 3 -2-2 x = 4. 1 3 y5 1 3 x = 5 3 -2 y4 16

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18 REDUCCION DE FILAS 18 11 2 x = 4. 2-3 4 y13 35 -1 z-4 R 2 -2R 1 Y R 3 -3R 1 11 2 x = 4. 0-5 0 y5 02 -7-7 z-16

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20 20 http://www.portalplanetasedna.com.ar/ecuaciones_online.htm

21 UN CONTRATISTA DISPONE DE 5000 HR-HOMBRES DE MANO DE OBRA PARA TRES PROYECTOS. LOS COSTOS POR HORAS HOMBRE DE LOS TRES PROYECTOS SON DE BsF 8, BsF 10, BsF 12 RESPECTIVAMENTE Y EL COSTO TOTAL ES DE BsF 53.000. SI EL NÚMERO DE HR-HOMBRES PARA EL TERCER PROYECTO ES IGUAL A LA SUMA DE LAS H-H REQUERIDAS POR LOS PRIMEROS PROYECTOS. CALCULE EL NUMERO DE H-H DE QUE SE DISPONE EN CADA PROYECTO. SOLUCION: X + Y + Z = 5000 (1) 8X +10Y +12Z = 53000 (2) X + Y - Z = 0 (3) 21

22 Sea A una matriz cuadrada, es decir, una matriz cuyo número de reglones es igual a su número de filas, entonces es posible a veces despejar a X en una ecuación matriz AX = B por "dividir por A." Precisamente, una matriz cuadrada A puede tener una inversa, que se escribe como A -1, con la propiedad AA -1 = A -1 A = I. Si A tiene una inversa decimos que A es invertible, si no, decimos que A es singular. En el caso de A invertible, podemos despejar a X en la ecuación AX = B multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquierda por A -1, que nos da X = A -1 B. 22

23 PROBLEMA ANTERIOR 23 11 2 x = 4. 2-3 4 y13 35 -1 z-4

24 SOLUCION CON EXCEL 24 X 11 2 4 Y = 2-3 4 X 13 Z 35 -4 VER LA SOLUCION