Unidad 3: Geometría Analítica en el Plano Objetivo: Deducir la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y aplicarla al cálculo de magnitudes lineales en figuras planas
Ubiquemos dos puntos en el plano: A(2 , 5) y B( -1 , 1) La matemática, como tantas ciencias, ha avanzado porque los hombres se han cuestionado y no se conforman con lo que ven a simple vista. Ubiquemos dos puntos en el plano: A(2 , 5) y B( -1 , 1) ¿Cuál será la medida del segmento AB? ¿Cómo determinar la medida del segmento AB? ¡PITÁGORAS!
Apliquemos Pitágoras d 4 3
Observa ahora… Restemos las coordenadas de las abscisas de los puntos A y B para obtener la medida del primer cateto , es decir, 2- -1 = 2+1 = 3. Lo mismo haremos con las ordenadas de los puntos, 5–1= 4……Posteriormente, aplicamos Pitágoras
Generalicemos entonces Si se tienen dos puntos de coordenadas A(x1,y1) y B(x2,y2), la distancia entre los puntos A y B está dada por la expresión:
Ejemplos. Calcular la distancia entre los puntos: A(4 , 1) y B(10 , 9) P(-1 , 3) y Q(3 , 0) E(1 , 1) y F(-1,-1) Resp:
4. Verificar que el triángulo, cuyos vértices son A(-1 , 1), B(3 , 1) y C(1 , 6), es un triángulo isósceles. Solución: Un triángulo isósceles debe tener dos lados iguales. Entonces, se calcula dab , dbc y dca para verificar la condición indicada …Realiza tú los cálculos…
5. Determinar el perímetro del triángulo del ejercicio anterior.
6. Probar que los puntos A(-2,4) y B(6,4) pertenecen a una misma circunferencia, de centro C(2,1). Para probar esta idea, basta verificar que dac = dbc. Dichas distancias corresponden al radio de la circunferencia de centro C. …Realiza tú los cálculos… Entonces, como se ha comprobado que dac = dbc , se concluye que los puntos A y B están a igual distancia del punto C. Por lo tanto, ambos pertenecen a la circunferencia de centro C y radio 5