Matemáticas Aplicadas CS I DERIVADAS U.D. 10 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I CÁLCULO DE DERIVADAS Tema 10.5 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS. Sea f(x) = k Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) k - k 0 f ‘ (x) = lím ------------------- = --------- = ------- = 0 h 0 h h h Sea f(x) = x Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) x + h - x h f ‘ (x) = lím ------------------- = -------------- = ------ = 1 h 0 h h h 2 Sea f(x) = x Aplicando la definición de derivada de una función: 2 2 2 2 2 f (x + h) - f(x) (x + h) - x x + 2.x.h + h - x f ‘ (x) = lím ---------------------- = ------------- = ------------------------- = h 0 h h h = 2.x + h = 2.x + 0 = 2.x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS. 3 2 Sea f(x) = x  De igual manera se llegaría a que f ‘ (x) = 3.x Resumiendo: f (x) = x  f ‘ (x) = 1 2 f (x) = x  f ‘ (x) = 2.x 3 2 f (x) = x  f ‘ (x) = 3.x n n - 1 Generalizando: f (x) = x  f ‘ (x) = n. x Como se ve para hallar la función derivada de una expresión polinómica, el exponente de la x pasa multiplicando y el nuevo exponente presenta una unidad menos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I PARA APRENDER (1) DERIVADA DE UNA CONSTANTE f(x) = k  f’(x) = 0 Ejemplos y = 4  y’=0 y = -√3  y’=0 y = (e – 2) / π  y’=0 DERIVADAS POLINÓMICAS n n - 1 f (x) = x  f ‘ (x) = n. x y = x4  y’= 4. x3 y = -x7  y’= -7. x6 y = x42  y’= 42. x41 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I PARA APRENDER (2) DERIVADA DE LA INVERSA f(x) = 1/x  f’(x) = -1/ x2 DERIVADA DE LA RAIZ f (x) = √x  f ‘ (x) = 1 / 2.√x DERIVADA DE LA EXPONENCIAL f(x) = ex  f’(x) = ex f(x) = ax  f’(x) = ax.ln a DERIVADA DEL LOGARITMO f(x) = ln x  f’(x) = 1 / x f(x) = log x  f’(x) = 1 / x.ln 10 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I PARA APRENDER ( y 3) g(x) Sea y = f(x) Tomando logaritmos: Ln y = g(x). Ln f(x) ; y derivamos ... y ‘ / y = [ g ‘ (x). Ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) )]  y ‘ = y . [ … ]  g(x) y ‘ = f(x) . [ … ] DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS y = sen x  y ‘ = cos x y = cos x  y ‘ = - sen x y = tg x = sen x / cos x y’ = [cos x. cos x – sen x . (-sen x)] / cos2 x y’ = [cos2 x + sen2 x] / cos2 x = 1 / cos2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I DERIVADAS DE LA SUMA Sea y = f(x)+g(x) y’ = f ’(x) + g ‘(x) Ejemplos: y = x3 + x  y’ = 3.x2 + 1 y = x5 – x3  y’ = 5.x4 – 3.x2 y = ex + x4  y’ = ex + 4.x3 y = x3 + 1/x  y’ = 3.x2 – 1/x2 y = x + √x – 3  y’ = 1 + 1/(2.√x) y = x2 + lnx  y’ = 2.x + 1/x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I DERIVADAS DE LA SUMA Sea y = f(x)+g(x) y’ = f ’(x) + g ‘(x) Ejemplos: y = x2 + lnx  y’ = 2.x + 1/x y = ex – ln x + √e  y’ = ex – 1/x y = x + sen x  y’ = 1 + cos x y = x3 – cos x  y’ = 3.x2 + sen x y = arctg x + tg x  y’ = 1 / (1 + x2) + 1+tg2 x y = √x – arc sen x  y’ = 1/(2√x) – 1/√(1 – x2 ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

DERIVADAS DEL PRODUCTO Sea y = f(x). g(x) y ’ = f ‘(x) . g(x) + f(x) . g ’(x) Ejemplos: y = ex . x4  y’ = ex x4 + ex 4x3 y = x3 . 1/x  y’ = 3.x2 . 1/x + x3 .(-1/x2 ) = 3x – x = 2x y = x . √x  y’ = √x + x /(2.√x) y = x2 .lnx  y’ = 2.x.lnx + x2 1/x = 2.x.lnx + x y = sen x . √x  y’ = cos x. √x + sen x. 1/(2.√x) y = cos x.lnx  y’ = - sen x. lnx + cos x. 1/x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

DERIVADAS DE CONSTANTE POR FUNCIÓN Sea y = k.f(x) y ' = k. f ‘(x) Ejemplos: y = 4x3  y’ = 12.x2 y = – 5x7  y’ = – 35.x6 y = 5.ex + 2.x4  y’ = 5.ex + 8.x3 y = 7.x3 + 5/x  y’ = 21.x2 – 5/x2 y = 3x + 7√x – e  y’ = 3 + 7/(2.√x) y = - 3.x2 + 5.lnx  y’ = - 6.x + 5/x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

DERIVADAS DE CONSTANTE POR FUNCIÓN Sea y = k.f(x) y ' = k. f ‘(x) Ejemplos: y = 9x2 + 4lnx  y’ = 18.x + 4/x y = 3ex – a.ln x + √e  y’ = 3ex – a/x y = 7x – 2sen x  y’ = 7 – 2 cos x y = 8.x3 – e.cos x  y’ = 24.x2 + e.sen x y = 3.arctg x + 5.tg x  y’ = 3 / (1 + x2) + 5.(1+tg2 x) y = 21.√x – 4.arc sen x  y’ = 21/(2√x) – 4/√(1 – x2 ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

DERIVADAS DEL COCIENTE Sea y = g(x) / f(x) g ‘(x). f (x) – g (x). f ‘(x) y ‘ = ----------------------------------- f 2 (x) Ejemplos: y = 2ex / x4  y’ = (2ex x4 – 2ex 4x3 ) / x8 y = x3 / (x – 1)  y’ = (3.x2 (x – 1) – x3 .1) / (x – 1)2 y = (x + 3) / √x  y’ = (1. √x – (x + 3). 1/(2.√x)) / x y = x2 / (ex + x)  y’ = (2.x.(ex + x) – x2 . (ex + 1)) / (ex + x)2 y = (x + sen x) / cos x  y’ =((1+ cos x).cos x – (x + sen x).(- sen x)) / cos2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

REGLA DE LA CADENA Derivada de una función compuesta Ejemplo 1 Ejemplo 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

REGLA DE LA CADENA Derivada de una función compuesta Ejemplo 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I REGLA DE LA CADENA Ejemplo 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I