Eduard Lara , Carles Mallol IES CAR SANT CUGAT Vectors al pla i rectes Eduard Lara , Carles Mallol IES CAR SANT CUGAT

Segment orientat Fletxa Definició Vector Segment orientat Fletxa V B ≡ Punt Destí V = AB Por otro lado, Kilo y runahead son dos de las principales tecnicas que luchan contra el muro de la memoria (cada vez con el incremento de la frecuencia del reloj, sin aumentar la velocidad de la memoria, los accesos en numero de ciclos d A ≡ Punt Origen

Característiques d’un vector Un vector es defineix mitjançant la seva direcció, sentit i mòdul: Direcció: La de la recta que conté el vector. Una direccio té dos sentits oposats. Sentit: La punta de la fletxa indica el sentit (de A cap a B) Mòdul: Longitut del vector. Es representa amb el següent simbol |AB| Direcció Sentit Longitut o mòdul

Vectors multidimensió z R3 x v x R2 v y y Vectors Rn x

Vectors a R2 Els vectors que estudiarem es representen al pla R2 El pla R2 és el conjunt de parelles de nombres reals, representats de la forma (x, y) -> Pla cartesià V2 és el conjunt algebraic (espai vectorial) que engloba tots els vectors representables a l’espai R2 P = (a, b) Per tot punt P(a, b) de R2, queda determinat el vector V (a, b), que neix al origen (0,0) i té el seu destí a punt P(a, b) Por otro lado, Kilo y runahead son dos de las principales tecnicas que luchan contra el muro de la memoria (cada vez con el incremento de la frecuencia del reloj, sin aumentar la velocidad de la memoria, los accesos en numero de ciclos d V = (a, b) b a

Base Canónica del pla R2 Els vectors u1(1,0) i u2(0,1) formen una base del pla R2, ja que: Son independents ja que un d’ells no es pot obtenir de l’altre: u1 ≠ k · u2 on k és una constant Generen qualsevol vector del pla, mitjançant una combinació lineal d’ells dos: V(a1, a2) = a1·u1 + a2·u2 = a1 (1,0) + a2 (0,1) = (a1, a2) A més si també es compleix: u1 u2 i |u1| = |u2| = 1 → Base Canònica

Altres bases a V2 Qualsevol conjunt de 2 vectors linealment independents a V2 són una base. {(2,4) (5,3)} són base (independents i generadors de V2) {(2,4) (3,6)} ? Són dependents ja que (3,6) = k(2,4) on k=3/2 No formen base perquè son paral·lels {(-2,6) (7,4) (4,2)} ? Són dependents ja que un es pot expressar com a combinació lineal dels altres dos. Sobra un vector

Coordenades Cartesianes d’un vector V = a1·u1 + a2·u2 Les coordenades cartesianes d’un vector V en la base u1, u2, son el coeficients dels vectors u1, u2 que generen V. Component Horitzontal ≡ a1 Component Vertical ≡ a2 V = 4·u1 + 5·u2 = (4, 5) 5 u1 4 u1

Mòdul i argument d’un vector Mòdul V(a,b) |V(a, b)| = a2 + b2 T. Pitágoras Argument V(a,b) tag(α) = b/a Raó Trigonomètrica V(a, b) b α a

Operacions amb vectors Suma vectors V1 +V2 V1 + V2 = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) Suma de les coordenades V1 V2 Gràficament: Llei del paral.lelogram Multiplicació per un escalar k · V1 = k · (a, b) = (k · a , k · b) Multiplicació per cadascuna de les seves coordenades k V1 V1

Operacions amb vectors Vector Oposat V1 (-1) · V1 = (-1) (a, b) = (-a, -b) Multiplicació per -1 -V1 V1 - V2 Resta vectors V1 -V2 V1 – V2 = (a, b) - (c, d) = (a - c, b - d) Resta de les coordenades o suma per l’oposat de V2 V2

Construcció d’un vector Vector = Coordenades del punt destí – coordenades del punt origen Donats els punts A= (-3, 0), B= (2, 3), C= (0, -2), D= (5, 1) AB = (2, 3) – (-3, 0) = (5, 3) CD = (5, 1) – (0, -2) = (5, 3) B D A C Maybe do a motivation first and then present the outline? This would be similar to what I did in nara Representant Canònic de (5,3) Son vectors equipolents: Mateix mòdul, direcció i sentit

Combinació lineal de vectors Diem que el vector V(v1,v2) es pot expressat com una combinació lineal dels vectors a(a1,a2) i b(b1,b2), si: V = k1·a + k2 ·b (v1, v2) = k1 (a1, a2) + k2 (b1, b2) V1 = k1 · a1 + k2 · b1 V2 = k1 · a2 + k2 · b2 Per trobar k1 i k2 s’ha de ressoldre un sistema d’equacions Diem que (k1, k2) són les coordenades de V respecte els vectors a i b

Representacions en altres bases Exercici Expressar el vector V = (6, 3) = 6 · u1 + 3 · u2 en coordenades de la base e1 = (-2, 1) i e2 = (0, -2) -3·e2 (6, 3) = k1 (-2, 1) + k2 (0, -2) 6 = -2·k1 – 0·k2 3 = k1 - 2·k2 k1 = -3 k2 = -3 V e1 e2 V = (6, 3) = (-3,-3) Coordenades Coordenades en base u1, u2 en base e1, e2 -3·e1

Dependència-Independència vectors Quan un vector V es pot expressar com una combinació lineal d’un o d’altres vectors diem que V és linealment dependent d’aquests vectors Donats dos vectors, V1 = (a1, b1) i V2 = (a2, b2), si: a1 b1 ── ≠ ─── a2 b2 Són independents No són paral.lels a1 b1 ── = ── Són dependents, per tant també paral·lels.

Determinació vector unitari Donat un vector V(a, b), definim el vector unitari W que té la mateixa direcció i sentit de V, com: V (a, b) a b W = ──── = ────── = ──────, ────── | V | a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Demostració | V | a2 b2 a2 + b2 |W| = ──── = ───── + ───── = ────── = 1 | V | a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2

Divisió d’un segment en n parts I Per dividir un segment AB en n parts iguals, hem de trobar els (n-1) punts intermedis que defineixen cada part. Cas simple: Trobar el punt mig d’un segment B(b1, b2) M(x, y) A(a1, a2) AM = ½ AB ( x - a1, y - a2) = ½ (b1 - a1, b2 - a2) (x, y) = ½ (b1 + a1 , b2 + a2 )

Divisió d’un segment en n parts II Exercici Trobar el punt més proper a A, resultant de la divisió del segment AB en 4 parts iguals, on A=(-2, -1) i B = (15, 20) B(15, 20) Punt demanat (x,y) AX = 1/4 · AB A(-2, 1)

Producte escalar de vectors Dues maneres de calcular el producte escalar: a · b = | a | | b | cos(a, b) a · b = (a1, a2) · (b1, b2) = a1 · b1 + a2 · b2 Propietats producte escalar a) Conmutativa: a · b = b · a b) Associativa mixta: k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) c) Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c

Angle format per dos vectors Aillant de la fòrmula del producte escalar: a · b a1 · b1 + a2 · b2 cos(a, b) = ─────── = ──────────── | a | | b | | a | | b | Possibles situacions: Angle = 180º Angle = 0º Angle = 90º Vectors paral·lels Vectors normals Vectors oposats

Vectors normals Dos vectors són normals o perpendiculars si i només si el seu producte escalar és zero. a · b = | a | · | b | · cos(90º) = 0 a b Propietat Important Donat un vector V(a, b), llavors la família de vectors W(-b, a) són perpendiculars a · b = (a, b) · (-b, a) = -a · b + b · a = 0

Projecció d’un vector sobre un altre La projecció d’un vector V sobre W és defineix com: W Projecció VW = ──── V = | V | · cos (V, W) |W| V És la mida del vector V projectat ortogonalment sobre el vector W W Projecció de V sobre W

Determinació d’una recta Una recta queda determinada amb: Un punt A i el vector director V. Dos punts A i B. Vector director de la recta Qualsevol vector que és paral·lel a la direcció de la recta A Vdirector B A

Pendent d’una recta El pendent d’una recta és la tangent de l’angle que forma la recta amb l’horitzontal: m = tag (α) Vector director V(a, b) També es pot veure com la raó entre les coordenades del vector director α b m = ─── a

Equació vectorial de la recta (v1, v2) (x, y) K (v1, v2) (xo, yo) (xo, yo) + K (v1, v2) Equació vectorial (x, y) = (xo, yo) + k (v1, v2) Kε R

(x, y) = (xo, yo) + k (v1, v2) K és real Equacions de la recta I Equació vectorial (x, y) = (xo, yo) + k (v1, v2) K és real Equació paramètrica x = xo + k v1 Y = yo + k v2 Equació contínua x – xo y - yo ───── = ───── v1 v2

Equacions de la recta II Equació implícita Ax + By + C =0 Vnormal = (A, B) Vdirector = (B, -A) Equació explícita y = mx + b m ≡ Pendent de la recta b ≡ Ordenada a l’origen Equació punt pendent (y – yo) = m (x – xo)

Rectes perpendiculars Siguin r i s dues rectes perpendiculars, amb pendents m i m’, llavors es compleix que: m · m’ = -1 Si els vectors directors de r i s són v1 i v2, llavors el seu producte escalar és zero: v1 · v2 = |v1| |v2| cos 90º = 0 Si les coordenades de v1 són (a, b), les de v2 són múltiple de (b, -a): v1 · v2 = (a, b)· (b, -a) = a · b – b · a = 0

Equacions rectes paral·leles als eixos Les rectes paral·leles a l’eix OX són del tipus: y = k Les rectes paral·leles a l’eix OY són del tipus: x = k y = 3 x = 3

Posició relativa punt i recta Un punt i una recta poden presentar dos posicions: El punt pertany a la recta El punt es exterior a la recta A A

Distancia punt i recta Distància Punt - Recta P = (xo, yo) r ≡ A x + By + C = 0 |Axo + Byo + C| D(r, P) = ─────────── A2 + B2 Si el punt pertany a la recta, llavors es cumpleix que: Axo + Byo + C = 0 D(r, P) = 0

Posicións relatives dues rectes Dues rectes r ≡ Ax + By +C = 0 i s ≡ A’x + B’y + C’ = 0 poden ser: Secants A B ── ≠ ─── A’ B’ Una sol·lució Paral·leles A B C ── = ── ≠ ── A’ B’ C’ No te sol.lució Coincidents ── = ── = ── Infinites solucions

Distancia entre dues rectes Primer es necessari estudiar la posició relativa de les rectes r i r’: Si son secants D(r, r’) = 0 Si son coincidents D(r, r’) = 0 Si són paral·leles Agafem un punt P qualsevol de la recta r’ i apliquem la fórmula: |Axo + Byo + C| D(r, P) = ───────── A2 + B2 Distància punt - recta