Cálculo MA459 Unidad 1: DIFERENCIACIÓN Clase 1.3 La derivada como una razón de cambio CÁLCULO

¡Reflexión! Considere la función utilidad U (en cientos de soles) dada por U(q) = 0,25q2, donde q es la cantidad producida y vendida (en miles de unidades). ¿Cómo determinaría la razón a la que cambia la utilidad respecto a la cantidad vendida, cuando se vende 2 000 unidades? CÁLCULO

Razón de cambio instantánea Recuerde que para la función f continua, se llama al cociente , razón de cambio promedio de f respecto a x en el intervalo [x0; x0 + h]. x0 x0+h f(x0+h) f(x0) entonces se llama razón de cambio instantánea de y con respecto a x en x = x0. CÁLCULO

Ejemplo 1: Suponga que un objeto se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ecuación s = f(t) = t2 donde s es la posición del objeto en metros en el tiempo t en segundos. Determine: La razón de cambio promedio de s en el intervalo de t = 1 a t = 3 segundos. La razón de cambio de s cuando t = 1 segundo. CÁLCULO

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en x0 La derivada de una función f en x0 es: La razón de cambio instantánea de la función f en x0 CÁLCULO CÁLCULO

Ejemplo 2: La grafica da la relación entre el porcentaje de desempleo U y el porcentaje correspondiente a la inflación I. Utilice la grafica para calcular la razón a que cambia I respecto de U cuando el nivel de desempleo es 3% y cuando es 10%. (3,15) (10;0) Pendiente= -14 Pendiente= -0,4 CÁLCULO CÁLCULO

Ejemplo 3: Para la función f(x) = x2, ¿en cual de los puntos (1; 1) ó (2; 4) , la función tiene mayor razón de cambio? CÁLCULO CÁLCULO

Ejemplo 4: Un comerciante determinó que el ingreso por la venta de un producto en miles de dólares es donde q es la cantidad producida y vendida en cientos de unidades. ¿Cuál es la razón de cambio promedio del ingreso cuando la cantidad cambia de q = 5 a q = 10 cientos de unidades? Interprete. b. Determine la razón de cambio instantánea del ingreso respecto a la cantidad vendida para q = 5 cientos de unidades. Interprete. CÁLCULO CÁLCULO

Razón de cambio relativa y porcentual   Si consideramos el cociente tenemos un medio para comparar la razón de cambio de f consigo misma. Esta razón se llama razón de cambio relativa de f. Si multiplicamos la razón de cambio relativa por 100% obtenemos las razón de cambio porcentual.   CÁLCULO

Ejemplo 5: Se estima que dentro de t años, la circulación de un periódico local será: C(t) = 100t2 + 400t + 5000 ejemplares a. ¿A qué razón cambiará la circulación respecto al tiempo dentro de 5 años? b. ¿Cuál será la razón de cambio porcentual de la circulación respecto al tiempo dentro de 5 años? CÁLCULO

Ejemplo 6: Determine la razón de cambio porcentual de f en x = 4. f CÁLCULO 11

Ejemplo 7: . Se muestra la gráfica de la función costo total C(q) en dólares por la producción de q unidades. Si C(4) = 8 dólares, ¿cuál es la razón de cambio porcentual del costo cuando se producen 4 unidades? q 1 0,8 1,2 4 C LT CÁLCULO