La Dualidad 12.La Dualidad Septiembre 2014

La Dualidad Cuando estudiamos el problema de optimización de las escogencias del consumidor, nos encontramos que existe dos formas alternativas de visualizar o plantear el problema y es lo que se conoce como “ La Dualidad”. Es decir, el Problema de Optimización se divide en dos : El Problema Primario y el Problema Dual , veamos de que se trata 12.La Dualidad Septiembre 2014

La Dualidad Gráficamente 𝑀𝑎𝑥 𝑈 𝑥,𝑦 𝑠.𝑎. 𝑝 𝑥 𝑥+ 𝑝 𝑦 𝑦=𝐼 𝑚𝑖𝑛 𝑝 𝑥 𝑥+ 𝑝 𝑦 𝑦 𝑠.𝑎. 𝑈 𝑥,𝑦 = 𝑢 𝑦 𝑦 𝒖 𝐼 𝑝 𝑦 U3 U2 U1 𝐼 𝑝 𝑥 𝑥 𝑥 12.La Dualidad Septiembre 2014

El Problema Primario Este es el que hemos visto a lo largo del curso y es el que plantea la Demanda Ordinaria o Marshaliana. Consiste en maximizar la Utilidad que un consumidor puede alcanzar dado el ingreso que posee. Dicho de otra forma: ¿Cual es la máxima utilidad que puede alcanzarse con un ingreso dado? Esto implica determinar cual es la Curva de Indiferencia mas alta que se puede alcanzarse dada la Restricción Presupuestaria. Funcionalmente: 𝑀𝑎𝑥 𝑈 𝑥,𝑦 Sujeto a: 𝑝 𝑥 𝑥+ 𝑝 𝑦 𝑦=𝐼 12.La Dualidad Septiembre 2014

Maximización de Utilidad 𝑀𝑎𝑥 𝑈 𝑥,𝑦 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 𝑝 𝑥 𝑥+ 𝑝 𝑦 𝑦=𝐼 Planteamos el LaGrange: 𝐿=𝑈 𝑥,𝑦 −𝜆 𝐼− (𝑝 𝑥 𝑥+ 𝑝 𝑦 𝑦) 𝜕𝐿 𝜕𝑥 = 𝜕𝑈 𝑥,𝑦 𝜕𝑥 −𝜆 𝑝 𝑥 =0 𝜕𝐿 𝜕𝑦 = 𝜕𝑈 𝑥,𝑦 𝜕𝑦 −𝜆 𝑝 𝑦 =0 𝜕𝐿 𝜕𝜆 =𝐼−𝑝 𝑥 𝑥− 𝑝 𝑦 𝑦=0 Condiciones de Primer Orden 12.La Dualidad Septiembre 2014

Maximización de la Utilidad Eliminando el Multiplicador de LaGrange (𝜆) tenemos: 𝜕𝑈(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 𝜕𝑈(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 = 𝑝 𝑦 𝑝 𝑥 TMS = Razón de Precios Pendiente de la CI = Pendiente de la Línea de Presupuesto Línea de Presupuesto 𝑝 𝑥 𝑥+ 𝑝 𝑦 𝑦=𝐼 12.La Dualidad Septiembre 2014

Maximización de Utilidad Nótese que: 𝜕𝑈 𝜕𝑎 𝑝 𝑎 = 𝑈𝑚 𝑎 𝑝 𝑎 ; 𝜕𝑈 𝜕𝑏 𝑝 𝑏 = 𝑈𝑚 𝑏 𝑝 𝑏 … 𝜕𝑈 𝜕𝑧 𝑝 𝑧 = 𝑈𝑚 𝑧 𝑝 𝑧 =𝜆= 𝑈𝑚 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 12.La Dualidad Septiembre 2014

Función de Demanda de Marshall Cuando las Curvas de Indiferencia son estrictamente convexas, la solución es única 𝑥 ∗ = 𝐷 𝑥 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 ,𝐼 𝑦 ∗ = 𝐷 𝑦 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 ,𝐼 Resultando en una Demanda que es función de los precios y el Ingreso. Demanda Ordinaria o Marshaliana 12.La Dualidad Septiembre 2014

Bienes 𝑦 Bien ‘Ordinario’ 𝜕𝑥( 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 ,𝐼) 𝜕 𝑝 𝑥 <0 𝐼 𝑝 𝑦 𝜕𝑥( 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 ,𝐼) 𝜕 𝑝 𝑥 <0 Bien Giffen 𝜕𝑥( 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 ,𝐼) 𝜕 𝑝 𝑥 >0 𝐼 𝑝 𝑦 Ruta de Expansión Precio A B U2 U1 𝐼 𝑝 𝑥 ′ 𝑥 𝐼 𝑝 𝑥 𝑝 𝑥 Complementarios 𝜕𝑦( 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 ,𝐼) 𝜕 𝑝 𝑥 <0 Sustitutos 𝜕𝑦( 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 ,𝐼) 𝜕 𝑝 𝑥 >0 𝑝 𝑥 Curva de Demanda 𝑝 𝑥 ′ 𝑥 𝐷 𝑥 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 ,𝐼 𝐷 𝑥 𝑝 𝑥 ′ , 𝑝 𝑦 ,𝐼 12.La Dualidad Septiembre 2014

Bienes Elasticidad Ingreso de la Demanda: 𝜂 𝐼 = 𝑑𝑥 𝑑𝐼 ∗ 𝐼 𝑥 𝜕𝑥( 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 ,𝐼) 𝜕𝐼 <0 𝐵𝑖𝑒𝑛 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝜂 𝐼 <0 𝜕𝑥( 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 ,𝐼) 𝜕𝐼 >0 𝐵𝑖𝑒𝑛 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝜂 𝐼 >0 Elasticidad Ingreso de la Demanda: 𝜂 𝐼 = 𝑑𝑥 𝑑𝐼 ∗ 𝐼 𝑥 Gráficamente: Curva de Engel 12.La Dualidad Septiembre 2014

La Función de Utilidad Indirecta A menudo es util considerar la utilidad que un consumidor obtiene indirectamente, en función del Ingreso y de los Precios en vez de a partir de las cantidades consumidas Dejemos que: 𝑣 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 ,𝐼 =𝑈 𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ,𝐼 =𝑈 𝐷 𝑥 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 ,𝐼 , 𝐷 𝑦 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 ,𝐼 =𝑀𝑎𝑥 𝑥,𝑦 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝 𝑥 𝑥+ 𝑝 𝑦 𝑦=𝐼 12.La Dualidad Septiembre 2014

El Problema Dual Otra forma de plantearse el Problema de Optimización es: ¿Cual es el presupuesto mínimo que se necesita para alcanzar un nivel de Utilidad dado? En este caso el problema se plantearía funcionalmente de la siguiente manera: 𝑚𝑖𝑛 𝑝 𝑥 𝑥+ 𝑝 𝑦 𝑦 Sujeto a: 𝑈 𝑥,𝑦 = 𝑢 Esta da origen a la llamada Demanda Compensada o Demanda Hicksiana 12.La Dualidad Septiembre 2014

El Problema Dual Condiciones de Primer Orden 𝑚𝑖𝑛 𝑝 𝑥 𝑥+ 𝑝 𝑦 𝑦 𝑠.𝑎. 𝑈 𝑥,𝑦 = 𝑢 La solución del Problema Dual resulta en el gasto mínimo que el consumidor requiere para alcanzar un nivel de utilidad dado. Planteando el LaGrange: 𝐿= 𝑝 𝑥 𝑥+ 𝑝 𝑦 𝑦−𝜆 𝑈 𝑥,𝑦 − 𝑢 𝜕𝐿 𝜕𝑥 = 𝑝 𝑥 −𝜆 𝜕𝑈 𝑥,𝑦 𝜕𝑥 =0 𝜕𝐿 𝜕𝑦 = 𝑝 𝑦 −𝜆 𝜕𝑈 𝑥,𝑦 𝜕𝑦 =0 𝜕𝐿 𝜕𝜆 =𝑈 𝑥,𝑦 − 𝑢 =0 Condiciones de Primer Orden 12.La Dualidad Septiembre 2014

Pendiente de la Línea de Presupuesto El Problema Dual Eliminando el Multiplicador de LaGrange (𝜆) tenemos: 𝜕𝑈(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 𝜕𝑈(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 = 𝑝 𝑦 𝑝 𝑥 TMS = Razón de Precios Pendiente de la CI = Pendiente de la Línea de Presupuesto Utilidad Constante 𝑈 𝑥,𝑦 = 𝑢 12.La Dualidad Septiembre 2014

El Problema Dual Resolviendo las dos ecuaciones anteriores obtenemos las demandas de 𝑥, 𝑦 que alcanzan el nivel deseado de utilidad al mínimo costo. Cuando las curvas de Indiferencia son estrictamente convexas, la solución es única, y podemos escribir las demandas como función de los precios de 𝑥 y 𝑦 y el nivel de utilidad deseado 𝑥 ∗ = 𝐷 𝑥 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 , 𝑢 𝑦 ∗ = 𝐷 𝑦 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 , 𝑢 Estas se conocen como Funciones de Demanda Compensadas o Funciones de Demanda Hicksianas 12.La Dualidad Septiembre 2014

Curva de Demanda Compensada o Hicksiana Pendiente − 𝑝 𝑥 ′ 𝑝 𝑦 𝑦 𝑝 𝑥 ′ > 𝑝 𝑥 A B Pendiente − 𝑝 𝑥 𝑝 𝑦 U1 𝑥 Curva de Demanda Compensada o Hicksiana 𝑝 𝑥 ′ ∆ 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝐻𝑖𝑐𝑘𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 = 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑝 𝑥 𝐷 𝑥 𝐷 𝑥 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 , 𝑢 𝐷 𝑥 𝑝 𝑥 ′ , 𝑝 𝑦 , 𝑢 𝑥 12.La Dualidad Septiembre 2014

La Función de Gasto 𝑒 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 , 𝑢 =𝑚𝑖𝑛 𝑝 𝑥 𝑥+ 𝑝 𝑦 𝑦 𝑠.𝑎. 𝑢 𝑥,𝑦 = 𝑢 Ahora podemos determinar el gasto mínimo requerido para alcanzar un nivel de utilidad gasto dado los precios Dejemos que : 𝑒 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 , 𝑢 =𝑚𝑖𝑛 𝑝 𝑥 𝑥+ 𝑝 𝑦 𝑦 𝑠.𝑎. 𝑢 𝑥,𝑦 = 𝑢 = 𝑝 𝑥 𝐷 𝑥 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 , 𝑢 + 𝑝 𝑦 𝐷 𝑦 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 , 𝑢 12.La Dualidad Septiembre 2014

Propiedades de la Función de Gasto Homogénea de Primer grado en los Precios.: Si los precios cambian en la misma proporción, la razón de precios no cambia y por lo tanto la solución optima se mantiene igual, el gasto aumente en la misma proporción que los precios Cóncava en los Precios Si el precio cambia el gasto aumentara linealmente si la combinación de consumo se mantiene igual. Si la combinación de consumo cambia la variación en el gasto será no lineal, Creciente en el precio si 𝑈(𝑥) es una función creciente (Monótona) 12.La Dualidad Septiembre 2014

Lema de Shephard Lema de Shephard Ya que: 𝑒 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 , 𝑢 =𝑚𝑖𝑛 𝑝 𝑥 𝑥+ 𝑝 𝑦 𝑦 𝑠.𝑎. 𝑢 𝑥,𝑦 = 𝑢 Y el Lagrange: 𝐿= 𝑝 𝑥 𝑥+ 𝑝 𝑦 𝑦−𝜆 𝑈 𝑥,𝑦 − 𝑢 Podemos aplicar el Teorema de la Envolvente para obtener 𝜕𝑒 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 , 𝑢 𝜕 𝑝 𝑥 = 𝑥 ∗ = 𝐷 𝑥 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 , 𝑢 Lema de Shephard 12.La Dualidad Septiembre 2014