@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema II Matrices

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.2 MATRIZ INVERSA TEMA 2.4 * 2º BCS

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 MATRIZ INVERSA Dada la matriz cuadrada A=(aij) de orden n, se llama matriz inversa de A aquella que cumple, si es que existe : A. A – 1 = A – 1. A = I, siendo I la matriz identidad. PROPIEDADES La inversa de la inversa es la matriz dada. La inversa de un producto (si existe) es el producto de las inversas (si existen). La transpuesta de una matriz inversa es la inversa (si existe) de la matriz transpuesta. Si A.X = B, siendo A y B matrices … X = B / A, pero como no se pueden dividir matrices … 1 X = ---. B, donde 1 / A = A -1 es la matriz inversa. A

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 CALCULO MATRIZ INVERSA MÉTODO DIRECTO Dada la matriz de orden 2: x y A =, hay que hallar A = 5 6 z t -1 Como A. A = I, efectuamos el producto de matrices e identificamos elementos, quedándonos un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas que hay que resolver. 3.x + 4.z = 1 3.x + 4.z = 1 3.y + 4.t = 0 3.y + 4.t = 0 5.x + 6.z = 0 5.x + 6.z = 0 5.y + 6.t = 1 5.y + 6.t = 1 Si el sistema es incompatible, entonces no existe la matriz inversa.

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5... MÉTODO DIRECTO Resolviéndolo: 15.x + 20.z = 5 2.z = 5  z = 5 / 2 15.y + 20.t = 0 x = - 45 / 15  x = x + 18.z = 0 2.t = - 3  t = - 3 / 2 15.y + 18.t = 3 y = 30 / 15  y = 2 Podemos comprobar que A.A -1 =A -1.A = I /2 -3/2 = = /2 -3/ = 15/2-15/ = 0 1 Si las matrices son de orden 3 o superior, es desaconsejable este método por la enorme cantidad de ecuaciones del sistema a resolver (9, 16, 25, …)

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Se coloca la matriz A y a su lado la matriz I separadas por una raya vertical de puntos. A continuación se procede a efectuar sobre las filas de A una serie de operaciones elementales, las mismas y al mismo tiempo que sobre las filas de la matriz I. Cuando, actuando así, hemos logrado transformar la matriz A en la I, la matriz de la derecha, que es la I transformada, será la inversa de A. Es decir: (A | I)  las mismas operaciones en ambas  ( I | A – 1 ) Calculo matriz inversa

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7 Divido la primera fila entre 3. Queda: 14/31/ A la segunda fila la resto 5 veces la primera. Queda: 14/31/30 0-2/3-5/31 Ejemplo MÉTODO DIRECTO: Dada la matriz de orden 2: x y A =, hay que hallar A = z t Como A. A = I, aplicamos el método de Gauss.Jordan: 3410 que es ( A | I ) 5601

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 Finalmente divido la segunda fila por -2/3. Queda: /2 -3/2 SOLUCIÓN (Parte derecha): A 5/2 - 3/2 Que es la matriz inversa. A la primera fila la sumo dos veces la segunda. Queda: /3-5/31

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9 EJEMPLO 1: Dada la matriz de orden 3: A = , hay que hallar A que es ( A | I ) A la tercera fila le quito la primera. Queda: A la segunda fila le suma la tercera. Queda:  A =

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.10 EJEMPLO 2: Dada la matriz de orden 3: A = , hay que hallar A que es ( A | I ) A la primera fila la divido entre 3. Queda: 1 02/31/ A la tercera fila le resto la primera. Queda: 1 02/31/ /3-1/3 0 1

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 A la tercera fila la multiplico por -3/2. Queda: 1 02/31/ /2 0-3/2 A la segunda fila la sumo la tercera. Queda: 1 02/31/ /2 1 -3/ /2 0-3/2 A la primera fila la resto la tercera multiplicada por 2/3. Queda: 1 001/3 – 2/6 0 0 – (-1) /2 1 -3/ /2 0-3/2 La matriz inversa será: A = 1/2 1 -3/2 1/2 0 -3/2

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.12 EJEMPLO 3: Dada la matriz de orden 3: A = , hay que hallar A que es ( A | I ) Divido la primera fila entre 3. Queda: 1 4/301/ A la F2 la sumo 2xF1 y a la F3 le resto 5xF1. Queda: 1 4/3 0 1/ /3 -1 2/ /3 6 -5/3 0 1

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.13 A la F3 la sumo 2xF2. Queda: 1 4/3 0 1/ /3 -1 2/ /3 2 1 A la F3 la divido entre 4 y a la F2 la sumo la nueva F3. Queda: 1 4/3 0 1/ /3 0 7/12 3/2 1/ /12 1/2 1/4 A F1 le resto 4/11 de F2. Queda: /33 -6/11-1/ /3 0 7/123/21/ /121/21/4 Y por último divido F2 entre 11/3. Queda: /33 -6/11-1/ /449/223/ /121/21/4