UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS Microeconomía Tema 1 (Parte 2): Las preferencias y la utilidad Prof. Juan Gabriel Rodríguez

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID “Sin haber conocido la miseria es imposible valorar el lujo” Charles Chaplin

Índice Enfoque ordinal y cardinal. Axiomas de la elección racional: supuestos sobre las preferencias. Las curvas de indiferencia. Propiedades. La función de utilidad. La Relación Marginal de Substitución.

Dos enfoques de la utilidad 1. Enfoque cardinal: marginalistas. La utilidad es medible y comparable cardinalmente: la utilidad transmite información cuantitativa Si U(x) = 2U(x'), x es preferido el doble que x' 2. Enfoque ordinal moderno: Hicks La utilidad es medible pero comparable ordinalmente: la utilidad sólo transmite información cualitativa. Si U(x) > U(x') sólo quiere decir que x es preferido a x', pero no dice nada sobre cuánto más preferido Es un enfoque más general (no tan restrictivo)

Ejemplos La distancia El peso La temperatura cardinal Cardinal ordinal Km 1,692 3,384 M 1 2 oF 50 100 oC 10 37,8 Es importante en nuestro caso, pues queremos un modelo donde la utilidad optimizada sea ordinal y el resultado de la elección no dependa de la escala de medida

Enfoque ordinal Establecemos un orden de preferencias que nos clasifique de mejor a peor las cestas de consumo (que no dependa de la escala de medida). Enfoques: (1) Enfoque axiomático: Partimos de unos axiomas y el orden de preferencias se establece mediante un mapa de curvas de indiferencia (Hicks, 1939). (2) Enfoque de la preferencia revelada: Sólo podemos tener en cuenta situaciones observadas para establecer el orden de preferencias (Samuelson, 1947).

La relación (débil) de preferencias La relación de preferencia débil básica: x x' “ La cesta x es al menos tan preferida como la cesta x' ... ” Nótese que no es x  x' Podemos derivar a partir de la anterior la relación de indiferencia: x ~ x' “ x x' ” y “ x‘ x” …y la relación de preferencia estricta… x x' “ x x' ” y no “ x‘ x”

Axiomas (enfoque axiomático) Completitud Transitividad Continuidad Monotonicidad (Estricta) Cuasi-concavidad Diferenciabilidad “ Para todo x, x'  Rn+ , bien x x' , ó x‘ x , ó los dos son verdad (en cuyo caso son indiferentes). ”

Completitud bien... ó... ...ó ambos (para todas las cestas)

Gráficamente, no hay “huecos” en el orden de preferencias Completitud La idea que transmite es que no se admite la “no comparabilidad”. Ej. películas Gráficamente, no hay “huecos” en el orden de preferencias

“ Para todo x, x', x' '  Rn+, si x‘ x y Axiomas Completitud Transitividad Continuidad Monotonicidad (Estricta) Cuasi-concavidad Diferenciabilidad “ Para todo x, x', x' '  Rn+, si x‘ x y x' ' x' , entonces x' ' x ”

Transitividad si y ... entonces

Transitividad La idea que transmite es una cierta consistencia en las preferencias y evitar circularidades perversas Junto con la completitud, son la base de la racionalidad del consumidor

“La conducta de los consumidores no experimenta saltos” Axiomas Completitud Transitividad Continuidad Monotonicidad (Estricta) Cuasi-concavidad Diferenciabilidad “La conducta de los consumidores no experimenta saltos”

Las curvas de indiferencia El conjunto I(x) ={x'  X, si x ~ x' } se denomina conjunto o curva de indiferencia . De los axiomas (1) a (3) se puede crear un mapa de curvas de indiferencias tal que: Por todo punto pasa una curva de indiferencia que de ser una función es contínua

Continuidad A Dada una cesta de consumo A. x2 La curva de indiferencia es contínua. x2 A x1

axiomas 1 a 3 son cruciales ... La función de utilidad completitud transitividad continuidad

La función de utilidad representa el orden de preferencias x x' U(x) ³ U(x')

Una función de utilidad U(x1,x2) Curva de indiferencia x2 x1

Otra función de utilidad que representa las mismas preferencias U*(x1,x2) La misma curva de indiferencia x2 x1

Las curvas de indiferencia x2 U(x) A 200 C 150 100 B x1

Claves de las funciones de utilidad Son contínuas Representan órdenes de preferencias Por lo tanto, la escala no importa Asi, si transformamos la función de utilidad utilizando cualquier forma monotóna...el orden de preferencias no varía

Irrelevancia de la cardinalización U(x1, x2,..., xn) Dada cualquier función de utilidad... 5+log( U(x1, x2,..., xn) ) Esta transformación representa las mismas preferencias... exp(U(x1, x2,..., xn) ) …y éstas también ( U(x1, x2,..., xn) ) a+f ( U(x1, x2,..., xn) ) y, en general, éstas... (f es cualquier función creciente y a es cualquier número real)

“Para todo x  x'  X, si  i, xi  x’i Axiomas Completitud Transitividad Continuidad Monotonicidad (fuerte) Convexidad Diferenciabilidad “Para todo x  x'  X, si  i, xi  x’i entonces x x’ ”

Da una clara dirección Monotonicidad... x2 Estas cestas son preferidas estrictamente a A Dada una cesta de consumo en X... A Incremento de las preferencias x1

“Dados x y >0 cualesquiera ,  x’ tal que ||x’-x||  y Monotonicidad... Impone que xi i sea un bien… Si imponemos no saciabilidad local: “Dados x y >0 cualesquiera ,  x’ tal que ||x’-x||  y x’ x’ ” Ahora puede haber males aunque no todos pueden serlo. Las curvas de indiferencia no pueden ser gordas

Completitud Transitividad Continuidad Monotonicidad Convexidad débil Axiomas Completitud Transitividad Continuidad Monotonicidad Convexidad débil Diferenciabilidad “ Para todo x  X, el conjunto preferido débilmente a x, PD(x) ={x'  X, si x‘ x} es convexo ”

Convexidad débil... y x z t y + (1-t) z preferidas débilmente a x... Dada una cesta de consumo x. El conjunto débilmente preferido a x es convexo: Dados y, z  PD(x) y t  [0,1], entonces t y + (1-t) z  PD(x) Admite tramos lineales en las curvas de indiferencia x2 t y + (1-t) z preferidas débilmente a x... y x z x1

Completitud Transitividad Continuidad Monotonicidad Axiomas Completitud Transitividad Continuidad Monotonicidad Convexidad estricta Diferenciabilidad “ Para todo x  X, el conjunto preferido débilmente a x, PD(x) ={x'  X, si x' x} es estrictamente convexo ”

Convexidad estricta... y x z t y + (1-t) z Dada una cesta de consumo x. El conjunto débilmente preferido a x es estrictamente convexo: Dados y  z  I(x) y t  (0,1), entonces t y + (1-t) z x No admite tramos lineales en las curvas de indiferencia x2 t y + (1-t) z preferidas estrictamente a x... y x z x1

Convexidad estricta A C B x2 Dados dos puntos indiferentes entre sí… cualquier combinación lineal entre ellos (excluidos ellos)… Alcanza un mayor nivel de utilidad Preferencia por la diversificación C B x1

Se excluyen casos como: B x1

Relación Marginal de Sustitución Una medida del grado de sustitubilidad entre bienes nos la da la Relación Marginal de Sustitución: La Relación Marginal de Sustitución RMS entre x2 y x1 se define como el número de unidades que el consumidor está dispuesto a renunciar de x2 si aumenta el consumo de x1 en una unidad y permanecer indiferente.

La Relación Marginal de Sustitución x2 (-) la pendiente de la C.I. es la Relación Marginal de Sustitución entre x2 y x1 Umg (x1) ———— Umg(x2) . x1

Convexidad estricta… x2 La Relación Marginal de Sustitución entre x2 y x1 es estrictamente decreciente al aumentar x1 . x1

Función de utilidad De los axiomas (1) a (5) se puede crear un mapa de curvas de indiferencia con las siguientes propiedades: Por todo punto pasa una curva de indiferencia La curva de indiferencia es contínua La curva de indiferencia no es creciente No se cortan entre si Mientras más alejadas del origen, más satisfacción Son convexas (estrictas, si covexidad estricta)

La convexidad estricta no evita... RMS no definida aquí preferencias crecientes x1

“ La función de utilidad es diferenciable Axiomas Completitud Transitividad Continuidad Monotonicidad Convexidad estricta Diferenciabilidad “ La función de utilidad es diferenciable en todo punto ”

Preferencias y Utilidad EJERCICIOS: (1) Dadas la completitud y la transitividad, demostrad que dos curvas de indiferencia (con distintos niveles de satisfacción) no se pueden cortar. (2) Represéntese el orden de preferencias lexicográfico (a modo de diccionario) que se define: Dados x,y  x y  ¿Podemos representarlo por una función de utilidad? .

Preferencias y Utilidad EJERCICIOS: (3) a)Dada una función de utilidad U(x), cuáles son transformaciones monótonas V=2U-13, V=1/U2 , V=eU , V=U2 si U>0, y V=U2 si U<0? b)Dada una función de utilidad U(x), la transformación V=a+bU(x), a<0 y b>0 representa las mismas preferencias? c)¿Son iguales los órdenes de preferencias dados por U= x1 x2 y V= Ln x1 + Ln x2? ¿Y los dados por U= 14x1 + 14x2 y V= (x1 + x2) .

Preferencias y Utilidad (4)Considere los cuatro tipos de preferencias: U=a log(x1) + (1- a) log(x2) U= x1 + x2 U=min(x1, x2) U=lnX1+ x2 donde a es un parámetro positivo. Represente sus curvas de indiferencias. ¿Cumplen los axiomas (1) a (6)? .

Preferencias y Utilidad (5) El orden de preferencias representado por curvas de indiferencias concéntricas ¿cumple los axiomas vistos? .

Una función de utilidad general: CES Considere las preferencias: donde  es la elasticidad de sustitución, engloba tres casos: =1: bienes sustitutivos  0: preferencias Cobb-Douglas  -: bienes complementarios .

Ejemplos de funciones de utilidad diferentes [Becker (1957)] K es el factor capital utilizado por la empresa l1 and l2 son el número de trabajadores en el grupo 1 y grupo 2, respectivamente  son los beneficios v es la función de aversión al colectivo 2 B) UA =U(X1,UB) [Andreoni y Miller (2002)] .

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