Proporcionalidad en la circunferencia MT-22 PPTCES029MT22-A15V1 Clase Proporcionalidad en la circunferencia

Resumen de la clase anterior Teorema de Euclides hc2 = p · q a2 = q · c b2 = p · c hc = a ∙ b c

Aprendizajes esperados Aplicar la noción de semejanza a la relación entre las cuerdas en una circunferencia. • Aplicar el teorema de cuerdas y propiedades asociadas a este. • Aplicar la noción de semejanza a la relación entre secantes en una circunferencia. • Aplicar el teorema de las secantes, de la secante y la tangente, y de las tangentes.

Pregunta oficial PSU 48. En la figura 14, el segmento BC mide 15 cm y es tangente en C a la circunferencia de centro O. Si O está en el segmento AB que mide 25 cm y A pertenece a la circunferencia, ¿cuántos centímetros mide el diámetro? A) 8 B) 16 9 D) 16,6 E) 24,6 Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011. O A B C fig. 14

1. Conceptos importantes 2. Teoremas de proporcionalidad

1. Conceptos importantes Cuerda y secante AB: Cuerda Segmento que une dos puntos distintos de la circunferencia. B El diámetro es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia y tiene la mayor longitud. A AB: Secante Recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos, formando una cuerda.

1. Conceptos importantes Tangente Recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia. Este punto es llamado “punto de tangencia” o “punto tangencial”. L A r O O: centro de la circunferencia OA: radio A: punto de tangencia L: tangente OA ┴ L

1. Conceptos importantes Sagita y apotema Si el radio es perpendicular a una cuerda, la divide en dos segmentos iguales y el punto de intersección (P), divide el radio en dos segmentos llamados sagita y apotema. D C A O P • O: centro de la circunferencia sagita OA: radio apotema PA: sagita OP: apotema En la figura, el radio OA es perpendicular a la cuerda CD en su punto medio P. CP = PD

2. Teoremas de proporcionalidad Teorema de las cuerdas Sean AB y CD dos cuerdas que se intersectan en P, entonces: D A P B C AP ∙ PB = CP ∙ PD

2. Teoremas de proporcionalidad Teorema de las cuerdas ¿Cómo se relaciona el Teorema de las cuerdas con la semejanza de triángulos? Subtienden el mismo arco AC D A P B C 1° Tracemos las cuerdas AD y CB b a Subtienden el mismo arco BD 2° El ángulo inscrito ADC es congruente con el ángulo inscrito ABC. g Son opuestos por el vértice 3° El ángulo inscrito DAB es congruente con el ángulo inscrito DCB. g a b 4° El ángulo APD es congruente con el ángulo BPC. Por lo tanto, ∆ APD   CPB. Luego se cumple que es decir, AP ∙ PB = CP ∙ PD

2. Teoremas de proporcionalidad Teorema de las secantes Sean PA y PB dos secantes que se intersectan en P, entonces: A B P C D PA ∙ PD = PB ∙ PC

2. Teoremas de proporcionalidad Teorema de las secantes ¿Cómo se relaciona el Teorema de las secantes con la semejanza de triángulos? 1° Tracemos las cuerdas AB y DC A B P C D b g 180° - a a 2° En el cuadrilátero inscrito ABCD, se cumple que: b 180° - b  ADC y  CBA son suplementarios  BAD y  DCB son suplementarios a 3° Lo anterior implica que  CDP =  y  PCD =  Por lo tanto, ∆ APB   CPD. Luego se cumple que es decir, PA ∙ PD = PB ∙ PC

Ejemplo En la figura, PA y PB son secantes. ¿Cuál es el valor de PD? A 12 20 6 x PA ∙ PD = PB ∙ PC 12 ∙ PD = 20 ∙ 6 12 ∙ PD = 120 PD = 10

( PA )2 = PC ∙ PD 2. Teoremas de proporcionalidad Teorema de la tangente y la secante Sean PA una tangente en A y PC una secante, que se intersectan en P. Entonces: A C P D ( PA )2 = PC ∙ PD

( PA )2 = PC ∙ PD 2. Teoremas de proporcionalidad g Teorema de la tangente y la secante ¿Cómo se relaciona el Teorema de la tangente y la secante con la semejanza de triángulos? A C P D Al trazar las cuerdas AC y AD, se forman dos triángulos semejantes, APD y CPA. a b g g a ( PA )2 = PC ∙ PD Luego se cumple que es decir,

2. Teoremas de proporcionalidad Teorema de las tangentes Sean PA y PC tangentes en A y en C, respectivamente, que se intersectan en P, entonces: A C P PA = PC

2. Teoremas de proporcionalidad Teorema de las tangentes ¿Cómo se relaciona el Teorema de las tangentes y la congruencia de triángulos? A C P O Al trazar los radios OA y OC, junto con OP, se forman dos triángulos congruentes por LLA. r OP, es lado común (hipotenusa) de los triángulos OAP y OCP r PA = PC Por lo tanto, ∆OAP ≅∆OCP y

2. Teoremas de proporcionalidad Cuadrilátero circunscrito Sea ABCD cuadrilátero circunscrito a la circunferencia, entonces: Ejemplo: d a b c A B C D 8 5 7 c A B C D 5 + c = 7 + 8 c = 10 a + c = b + d

Pregunta oficial PSU 48. En la figura 14, el segmento BC mide 15 cm y es tangente en C a la circunferencia de centro O. Si O está en el segmento AB que mide 25 cm y A pertenece a la circunferencia, ¿cuántos centímetros mide el diámetro? A) 8 B) 16 9 D) 16,6 E) 24,6 Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011. O A B C fig. 14 ALTERNATIVA CORRECTA B

Geometría de proporción Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 1 A Geometría de proporción Aplicación 2 B 3 D ASE 4 E 5 6 C 7 8 9 10 11 12

Geometría de proporción Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 13 B Geometría de proporción ASE 14 Aplicación 15 C 16 17 E 18 19 D 20 21 A 22 23 24 25

Teoremas de proporcionalidad Síntesis de la clase Circunferencia Teoremas de proporcionalidad cuerdas secantes tangentes secante y tangente cuadrilátero circunscrito igualdad

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