Límites y continuidad Cálculo 1

Límites de funciones Analicemos la función: La función está definida para toda x diferente de 1. Podemos simplificar la función de la siguiente manera: x  1 x y 1 –1 y = x + 1 2 x y 1 –1 2

Valores de x menores y mayores 1que 1 0.9 1.1 0.99 1.01 0.999 1.001 0.999999 1.000001 1.9 2.1 1.99 2.01 1.999 2.001 1.999999 2.000001 x  1 Decimos que f(x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.

Definición informal de límite Sea f(x) definida en un intervalo alrededor de x0, posiblemente excepto en x0. Si f(x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de x0, se dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxima a x0, y se escribe x y 1 –1 2 x y 1 –1 2 x y 1 –1 2

Comportamientos asociados a la no existencia de un limite  

Funciones sin límite en un punto Oscila demasiado La función salta x y Crece demasiado

Ejercicio Encontrar y y = g(x) 1 1 2 3 x

Tarea Haga una tabla con los valores de g(x) en los puntos –5.9, –5.99, –5.999, ... y para –6.1, –6.01, –6.001, ... ¿Cual es el limx–6 g(x)?

Calculo Analítico de Limites Teorema #1 Las reglas siguientes son válidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) = M (L y M son números reales) 1. Regla de la suma: limxc [f(x) + g(x)] = L + M 2. Regla de la resta: limxc [f(x) – g(x)] = L – M 3. Regla del producto: limxc f(x) ∙ g(x) = L ∙ M 4. Regla del producto: limxc k f(x) = kL por una constante 5. Regla del cociente: limxc f(x) / g(x) = L / M, M  0 6. Regla de la potencia: limxc [f(x)]m/n = Lm/n

Límites de Polinomios Teorema #2 Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0 Teorema #3 Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del denominador no es cero. Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c)  0, entonces limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)

Ejercicios  

Eliminación de denominador cero Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el límite.

Límites por un lado Definición informal de límite por la izquierda y límite por la derecha Sea f(x) una función definida en un intervalo (a, b) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de L cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que L es el límite por la derecha de f en a, y escribimos Sea f(x) una función definida en un intervalo (c, a) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de M cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que M es el límite por la izquierda de f en a, y escribimos

Límites por un lado y bilaterales Una función f(x) tiene un limite cuando x tiende a c si y sólo si tiene límites por la derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales: Limx  c f (x) = L  Limx  c– f (x) = L y Limx  c+ f (x) = L

Ejemplo y y = f (x) 2 1 x 1 2 3 4

Tarea #12 ¿cuáles límites son verdaderos y cuales son falsos? g) a) h) j) k) l) a) b) c) d) e) f)

Límites infinitos Si el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo, se dice que la función tiende a un límite infinito positivo. Similarmente si el valor de la función disminuye rebasando el valor de cualquier real negativo, se dice que la función tiende a un límite infinito negativo.

Ejemplos y y = 1/x x

y y = 1/(x – 1) x

y x

y x

Límites de funciones racionales

Continuidad Continuidad en un punto Una función f es continua en un punto interior x = c de su dominio, si

Ejemplos y y = f(x) y = f(x) 1 1 x x y y 2 y = f(x) 1 y = f(x) 1 x x

Tipos de discontinuidades Discontinuidad escalonada Discontinuidad oscilante Discontinuidad infinita Discontinuidad removible

Continuidad en los extremos Una función f es continua en el extremo izquierdo x = a de su dominio, si Una función f es continua en el extremo derecho x = b de su dominio, si y = f(x) a c b

Criterio de continuidad Una función f es continua en un punto x = c si y solo si cumple las tres condiciones siguientes: 1. f(c) existe (c está en el dominio de f) 2. Limx c f(x) existe (f tiene un límite cuando xc) 3. Limx c f(x) = f(c) (el límite es igual al valor de la función)

Ejemplo y y = f (x) 2 Continua 1 x 1 2 3 4 Discontinua

Reglas de continuidad Teorema 6 Si las funciones f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes funciones son continuas en: 1. f + g y f – g 2. f g 3. kf, donde k es cualquier número 4. f/g (si g(c) ≠ 0) 5. (f(c))m/n (si f(x) está definida en un intervalo que contenga a c, y m y n son enteros)

Continuidad de polinomios Teorema 7 Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real. Toda función racional es continua en todo punto donde el denominador sea distinto de cero. Ejemplo: Es continua para toda x, excepto en x = 0 y x = 2. La función f(x) = | x | es continua dado que f(x) = x (un polinomio) si x>0 y f(x) = –x (un polinomio) si x < 0 y además limx0| x | = 0.

Continuidad de la composición Teorema 8 Si f es continua en c, y g es continua en f(c), entonces g ° f es continua en c. f g g ° f f (c) g(f (c)) Continua en c Continua en f(c)

Ejemplos

Tarea #14 Diga si la función es continua y porque en x = –1 , 0, 1 y 2. 1 -1 1 2 ¿En qué puntos son continuas las siguientes funciones? a) b) c)

Extensión continua en un punto Para una función racional f(x), si f(c ) no está definida, pero limxc f(c ) = L, se puede definir una función F(x) usando la regla f(x) si x está en el dominio de f F(x) = L si x = c Ejemplo: Se puede simplificar en: Que es continua en x = 2