PERIMETRO Y ÁREA DEL TRIÁNGULOS @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Perímetro del Triángulo La palabra perímetro Proviene del griego “prímetron” que quiere decir “la medida alrededor” El perímetro de un triángulo es la suma de los tres lados P= A+B+C A B C

Área del Triangulo El área de un triángulo de base B y altura h, se obtiene mediante la formula: a c h b Altura (h) La recta perpendicular a un lado, que hace de base, trazada desde el vértice opuesto a dicho lado.

FÓRMULA DE HERÓN El área de un triángulo de lados a,b,c, también se puede obtener sin conocer la altura “h”, usando la Formula de Herón de Alejandría: Donde “s” significa semiperímetro  

FÓRMULA DE HERÓN Ejemplo: Calcular el perímetro y el área que se muestra en la siguiente figura P= a + b + c P= 2 cm + 3 cm + 4 cm = 9 cm c=4 cm b=3 cm a=2 cm

Ejemplo: Calcular el perímetro y el área que se muestra en la siguiente figura b = 6 cm a = 8 cm P = a + b + c c = 10 cm P = 8 + 6 + 10 = 24 cm

Un triángulo isósceles mide 23 cm de Perímetro y uno de sus lados iguales mide 9 cm ¿Cuánto mide el lado desigual? P = a + b + c 23 = 9 + 9 + c 23 – 18 = c 5 = c

FÓRMULA DE HERÓN EJEMPLO 1 Hallar el perímetro y el área del triángulo cuyos lados miden a=3, b=5 y c=7 cm P = a+b+c = 4+5+7 = 16 p= P/2 = 16/2 = 8 A= √(p.(p – a).(p – b).(p – c)) A=√(8.(8 – 4).(8 – 5).(8 – 7)) A=√(8.4.3.1) = √96 = √16.6 = 4.√6 u2

Área del Triángulo Rectángulo Si el triángulo es rectángulo, un cateto es la altura correspondiente al otro cateto y viceversa. Ello nos permite calcular el área sin necesidad de hallar previamente la altura. A=b.c/2 a b ha c

Área del Triángulo Rectángulo Ejemplo 2 Hallar el perímetro y el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden b= 8 cm y c= 6 cm, así como la altura relativa al lado a. Calculamos el lado a o hipotenusa mediante el T. de Pitágoras a=√(b2+ c2) = √(82+62) = √100 = 10 cm Perímetro: P=a+b+c = 10+8+6 = 24 cm Si tomamos b=8 como base  h=c=6 A=b.h/2 = 8.6/2 = 24 cm2 Si tomamos c=6 como base  h=b=8 A=c.h/2 = 6.8/2 = 24 cm2 El área es único, aunque halla cuatro formas de calcularlo. b.c/2 = a.ha/2  8.6/2=10.ha/2  ha = 8.6/10 = 4,8 cm a b ha c

Apuntes Matemáticas 1º ESO Triángulo Isósceles Ejemplo 3 Hallar el perímetro y el área del triángulo isósceles de altura hc=12 cm y lado c=10 cm, así como la altura relativa a los lados iguales. Calculamos el lado a=b o hipotenusa mediante el T. de Pitágoras, gracias al triángulo rectángulo que se forma. a=b=√(hc2+ (c/2)2) = √(122+52) = √169 = 13 cm Perímetro: P=a+b+c = 13+13+12 = 38 cm Si tomamos c=10 como base  h=hc=12 A=b.h/2 = 10.12 / 2 = 60 cm2 El área es único, aunque halla cuatro formas de calcularlo. A = a.ha / 2  60 =13.ha / 2  ha = 60.2/13 = 9,23 cm La altura correspondiente al lado b es: hb=ha=9,23 cm b a hc ha c @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO Ejemplo 4 Comprobar el área hallada en el Ejemplo 2 mediante la Fórmula de Herón: a=10 cm, b=8 cm, c= 6 cm P = a+b+c = 10+8+6 = 24 p= P/2 = 24/2 = 12 A= √(p.(p – a).(p – b).(p – c)) A=√(12.(12 – 10).(12 – 8).(12 – 6)) A=√(12.2.4.6) = √24.24 = 24 cm2 Ejemplo 5 Comprobar el área hallada en el Ejemplo 3 mediante la Fórmula de Herón: a=13 cm, b=13 cm, c= 10 cm P = a+b+c = 13+13+10 = 36 p= P/2 = 36/2 = 18 A=√(18.(18 – 13).(18 – 13).(18 – 10)) A=√(18.5.5.2) = √36.25 = 6.5 = 30 cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO Triángulo Equilatero Ejemplo 6 Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero de lado 12 cm. En un triángulo equilátero a=b=c=l Perímetro: P=a+b+c = l+l+l = 3.l = 3.12 = 36 cm Asimismo las alturas correspondientes a los lados también son iguales: ha=hb=hc=h Mediante el T. de Pitágoras, gracias al triángulo rectángulo que se forma. h=√(l2 – (l /2)2) = √(122 – 62) = √(144 – 36) = √108 = 6.√3 cm Si tomamos l=12 como base  h= 6.√3 A=b.h/2 = 12. 6.√3 / 2 = 36.√3 cm2 l l h h h l @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO