Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado ACOMPAÑAMIENTO ANUAL BLOQUE 21 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado PPTCAC040MT21-A15V1 Propiedad Intelectual Cpech

Aprendizajes esperados Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. Determinar el número de soluciones de una ecuación de primer grado con una incógnita. Resolución de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones de primer grado con una incógnita. Resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Modelar situaciones mediante sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Contenidos Ecuaciones de primer grado Ecuaciones y sistemas Sistemas de ecuaciones de primer grado Planteamiento de problemas con ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado

Ecuaciones Una ecuación es una igualdad que contiene una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas o variables. Resolver una ecuación significa encontrar el(los) valor(es) de la(s) incógnita(s) que satisface(n) la igualdad. Se llama ecuación de primer grado a todas aquellas en donde el exponente de la incógnita es 1. Ejemplos: 1) 2x + 3 = x – 8 + 5x = 5x – 4 2 2x 3 1 4 + 2)

Resolución de ecuaciones En la resolución de una ecuación, se deben considerar las siguientes propiedades: Al sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de una igualdad, ésta se mantiene. Al multiplicar o dividir ambos lados por una misma cantidad (distinta de cero), la igualdad se mantiene. En general, para resolver una ecuación se tiene que despejar la incógnita. Para ello deben efectuarse operaciones que permitan eliminar términos o coeficientes hasta lograr despejarla.

Ecuaciones con coeficientes enteros Ejemplo: 2(x – 2) + 4x = 11 + 3x (Distribuyendo) 2x – 4 + 4x = 11 + 3x (Restando 3x y sumando 4) 2x + 4x – 3x = 11 + 4 (Reduciendo términos semejantes) 3x = 15 (Dividiendo por 3) x = 3 15 x = 5

Ecuaciones con coeficientes fraccionarios Ejemplo: = 5x – 4 2 2x 3 1 4 + (Multiplicando por el m.c.m. (2, 3, 4) = 12) 6 4 3 = (5x – 4) 2 2x 3 1 4 12  12  (Simplificando) + 12  6(5x – 4) = 4  2x + 3  1 (Distribuyendo y multiplicando) 30x – 24 = 8x + 3 (Restando 8x y sumando 24) 30x – 8x = 3 + 24 (Reduciendo términos semejantes) (Dividiendo por 22) 22x = 27 x = 22 27 Generalmente, es conveniente dejar la ecuación con coeficientes enteros, multiplicando cada término de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.

Ecuaciones con coeficientes literales Ejemplo: En la ecuación px – p2 = qx – q2, con p ≠ q, encontrar x. px – p2 = qx – q2 (Restando qx y sumando p2) px – qx = p2 – q2 (Factorizando por x) x(p – q) = p2 – q2 (Dividiendo por (p – q), ya que es distinto de cero) p2 – q2 (p – q) = x (Factorizando la diferencia de cuadrados) (p + q) (p – q) (p – q) = x (Simplificando) x = p + q

Problemas de planteo Equivale a transcribir una expresión verbal a una expresión algebraica. Para esto utilizamos el metalenguaje. Ejemplo: Si x representa un número, entonces: - El doble de un número: 2x x 3 - La tercera parte de x: 3x 4 - Los tres cuartos de x: - El quíntuplo de x: 5x - El antecesor de x: x – 1 - El consecutivo o sucesor de x: x + 1

Problemas de planteo “El triple de la diferencia entre un número y su mitad equivale al doble del número, aumentado en 6. ¿Cuál es el número?” Solución Sea x: el número buscado. Según el metalenguaje, se tienen los siguientes conceptos: El triple de la diferencia entre un número y su mitad : El doble del número, aumentado en 6: 2x + 6. Se tiene entonces la siguiente ecuación: = 2x + 6

Problemas de planteo = 2x + 6 (Resolviendo el paréntesis) = 2x + 6 3 x (Multiplicando por 2) 3x = 4x + 12 (Restando 3x y restando 12) – 12 = 4x – 3x (Reduciendo términos semejantes) – 12 = x Finalmente el número es – 12

infinitas soluciones: Sistemas de ecuaciones Es un conjunto de ecuaciones donde hay más de una incógnita. Para determinar el valor numérico de cada una de ellas, debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas. Ejemplo: 2x + 3y = 7 x – 4y = 2 Gráficamente, la solución de un sistema de ecuaciones lineales (o de primer grado) corresponde a la intersección de las rectas representadas por dichas ecuaciones. Por lo tanto, al resolver este tipo de sistema puede ocurrir que tenga: una solución: las rectas se intersectan en un solo punto (x, y). infinitas soluciones: las rectas son coincidentes. ninguna solución: las rectas son paralelas.

Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas Sistemas de ecuaciones Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas Igualación: Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones del sistema. Luego, se igualan los resultados. El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones despejadas del sistema. Ejemplo: 1) 2x + 3y = 7 2) x – 4y = – 2 Despejando x en ambas ecuaciones: 1) 2x + 3y = 7 2) x – 4y = – 2 2x = 7 – 3y x = – 2 + 4y 7 – 3y 2 x =

Sistemas de ecuaciones Igualando ambas ecuaciones se obtiene: = – 2 + 4y 7 – 3y 2 (Multiplicando por 2) (Sumando 3y) 7 – 3y = – 4 + 8y 7 – 3y + 3y = – 4 + 8y + 3y 7 = – 4 + 11y (Sumando 4) 7 + 4 = – 4 + 11y + 4 11 = 11y (Dividiendo por 11) 1 = y Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x.

Por lo tanto, la solución del sistema es (2, 1). Sistemas de ecuaciones Reemplazando y = 1 en la segunda ecuación despejada queda 2) x = – 2 + 4y x = – 2 + 4·1 x = – 2 + 4 x = 2 Por lo tanto, la solución del sistema es (2, 1). Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de intersección.

Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas Sistemas de ecuaciones Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas Sustitución: Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones del sistema. Una vez despejada, se reemplaza en la otra ecuación, determinando el valor de la incógnita. El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuación despejada. Ejemplo: 1) 2x + 3y = 7 2) x – 4y = – 2 Despejando x en la segunda ecuación: 2) x – 4y = – 2 x = – 2 + 4y

Sistemas de ecuaciones Reemplazando x = – 2 + 4y en la primera ecuación resulta 1) 2x + 3y = 7 2·(– 2 + 4y) + 3y = 7 (Distribuyendo) – 4 + 8y + 3y = 7 (Sumando 4) 11y = 7 + 4 11y = 11 (Dividiendo por 11) y = 1 Como x = – 2 + 4y  x = – 2 + 4·1 x = 2 Por lo tanto, la solución del sistema es (2, 1).

Sistemas de ecuaciones Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas Reducción: Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un número tal que una de las incógnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuación. Luego, se suman ambas ecuaciones, de modo que se elimine la incógnita con coeficientes opuestos. Ejemplo: 1) 2x + 3y = 7 2) x – 4y = – 2 / · (– 2) Para eliminar x, multiplicaremos la segunda ecuación por – 2. 1) 2x + 3y = 7 2) – 2x + 8y = 4 (+) 11y = 11 y = 1

Sistemas de ecuaciones Reemplazando y = 1 en la segunda ecuación se obtiene 2) x – 4y = – 2 x – 4·1 = – 2 x = – 2 + 4  x = 2 Por lo tanto, la solución del sistema es (2, 1).

Sistemas de ecuaciones Aplicaciones En un parque hay avestruces y koalas. Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas, ¿cuántos avestruces y koalas hay? Solución: Si a: cantidad de avestruces y k: cantidad de koalas, entonces: Como hay la misma cantidad de cabezas que animales 1) a + k = 55  Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4, la cantidad total de patas de avestruz será 2a y el total de patas de koala 4k 2) 2a + 4k = 170 

Sistemas de ecuaciones Amplificando por – 2 Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema: Sumando ambas ecuaciones 1) a + k = 55 2) 2a + 4k = 170 /·(– 2) 1) – 2a – 2k = – 110 2) 2a + 4k = 170 Reemplazando k = 30 en primera ecuación (+) 2k = 60  k = 30 1) a + k = 55 a + 30 = 55 a = 55 – 30  a = 25 Por lo tanto, hay 25 avestruces y 30 koalas.

Apliquemos nuestros conocimientos 1. Si 4 · 91 – p = q y 3q = 156, entonces p es igual a A) – 312 B) – 211 C) 52 D) 211 E) 312   ¿Cuál es la alternativa correcta?

(Multiplicando por (– 1)) Apliquemos nuestros conocimientos Resolución: 3q = 156 (Despejando q) q = 156 3 (Simplificando) E q = 52 Habilidad: Aplicación Entonces: (Reemplazando q) 4 · 91 – p = q 4 · 91 – p = 52 (Multiplicando) 364 – p = 52 (Despejando (– p)) – p = 52 – 364 – p = – 312 (Multiplicando por (– 1)) p = 312

Apliquemos nuestros conocimientos 2. Si 7 – 3m = 16, entonces (m – m2) es igual a A) – 12 B) – 9 C) 3 D) 6 E) ninguno de los valores anteriores. ¿Cuál es la alternativa correcta?

A Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Aplicación Resolución: (Despejando (– 3m)) 7 – 3m = 16 – 3m = 16 – 7 (Resolviendo) – 3m = 9 (Multiplicando por (– 1) ambos lados de la ecuación) (Despejando m) 3m = – 9 m = – 9 3 (Simplificando) m = – 3 Entonces: A (Reemplazando) m – m2 = (Desarrollando) (– 3) – (– 3)2 = Habilidad: Aplicación – 3 – 9 = – 12

Apliquemos nuestros conocimientos 3. Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 años, entonces la mitad de su edad, más dos años es   A) 68 años. B) 35 años. C) 33 años. D) 13 años. E) 11 años. ¿Cuál es la alternativa correcta?

B Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Aplicación Resolución: Sea x la edad de la persona, entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 años, escrito matemáticamente es: 1 3 x = 22 (Despejando x) B x = 22 · 3 Habilidad: Aplicación x = 66 Por lo tanto, la edad de la persona es 66 años. Entonces, la mitad de su edad, más dos años es: 66 : 2 = 33 33 + 2 = 35 años

Apliquemos nuestros conocimientos x + y = 5 2x – y = – 2 4. Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son, Respectivamente, A) – 1 y 6 B) 1 y 6 C) 1 y 4 D) – 1 y 4 E) – 1 y – 4 ¿Cuál es la alternativa correcta?

C Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Aplicación Resolución: Se utilizará el método de reducción para resolver este sistema.: 2) x + y = 5 1) 2x – y = – 2 (Sumando ambas ecuaciones) 3x = 3 x = 1 (Dividiendo por 3) C Reemplazando x = 1 en la ecuación 2): 2) x + y = 5 Habilidad: Aplicación 1 + y = 5 (Restando 1) y = 4 Por lo tanto, los valores de x e y son 1 y 4, respectivamente.

Apliquemos nuestros conocimientos 9x = 3y 3x – y = – 2 5. La gráfica del sistema de ecuaciones se representa a través de rectas paralelas. rectas perpendiculares. rectas coincidentes. rectas que se intersectan en un punto. no se puede determinar. ¿Cuál es la alternativa correcta?

A Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Aplicación Resolución: Resolviendo el sistema, se tiene: 2) 9x = 3y 1) 3x – y = – 2 (Dividiendo por 3) 1) 3x – y = – 2 2) 3x – y = 0 (Restando ambas ecuaciones) 0 = – 2 Como 0 ≠ – 2, el sistema no tiene solución. Por lo tanto, las rectas son paralelas. A Habilidad: Aplicación

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