Pedro Godoy Gomez Profesor de matemática Funciones Pedro Godoy Gomez Profesor de matemática

GRÁFICAS Las gráficas son medios potentes para tratar gran número de problemas. Se utilizan en todas las disciplinas: física, biología, economía, sociología, psicología, etc.

RELACIÓN ENTRE LA HORA DEL DÍA Y LA SOMBRA TIEMPO T LONGITUD DE LA SOMBRA 9:00 21 M 9:30 19 M 10:00 15,5 M 10:30 13 M 11:00 11 M 11:30 9 M 12:00 8 M 12:30 7 M 13:00 6 M 14:00

Grafique la tabla anterior

VEA ESTO ¡Cuidado con los medicamentos! En las instrucciones de un medicamento, que hay que administrar a un diabético, se establece que la dosis del mismo, expresada en mg, está en función del peso del paciente según la gráfica. ¿QUÉ CONLUSIONES PUEDES OBTENER DEL GRAFICO?

Observa que a una persona de 50 Kg le corresponde una dosis de 20 mg Observa que a una persona de 50 Kg le corresponde una dosis de 20 mg. Diremos que 20 es la imagen de 50 o que 50 es un original de 20 y escribiremos 50 Kg   →  20 mg.

a.   ¿Cuál es la imagen de 75?, es decir, ¿qué dosis hay que suministrar a una persona de 75Kg? Company Logo

b. ¿Se puede administrar a bebés?¿Y a personas obesas?. Company Logo

c. ¿Qué peso tenía una persona a la que suministraron 40 mg? Company Logo

d. ¿Para qué peso la dosis es máxima? Diremos que la variable dosis depende (o es función) de la variable peso: Peso  →  Dosis Company Logo

Después de bañarse en su casa, Ana dibuja un esbozo de gráfica que muestra lo que ocurre con el volumen de agua de su baño en función del tiempo transcurrido. Company Logo

d. ¿Cuándo se alcanza el volumen máximo de agua? ¿Y el mínimo? a.   Si ambos grifos (caliente y frío) se abrieron al principio, ¿qué puede haber ocurrido en A? c.   ¿Cuándo aumenta el volumen del agua? ¿Cuándo disminuye? b.   Cuando el baño se está vaciando, Ana pone el pie en el agujero del desagüe. ¿Qué parte de la gráfica muestra esto? Company Logo

Vamos de Graneros a unas clases en Rancagua Vamos de Graneros a unas clases en Rancagua. La distancia aproximada es de unos 10 Km. La clase comienza a las 8:15 y salimos de casa a las 7:30. Las siguientes gráficas muestran cómo las cosas son bastante distintas para Antonio, Bernabé, Carlos y Alicia.

¿Qué grafica corresponde a cada uno? Antonio: Salgo con calma. En el camino comienzo a pedalear más fuerte. Bernabé: Acababa de salir cuando me di cuenta de que olvidé las zapatillas y tuve que volver. Carlos: Fui en moto, pero por el camino me quedé sin gasolina. Así que pie al suelo y andando. ¿Qué grafica corresponde a cada uno? Company Logo

Conclusiones Cada una de las situaciones anteriores nos muestra que siempre existe una dependencia Existe una variable independiente y otra dependiente Algunas de estas dependencias se pueden representar algebraicamente Por ejemplo el área del cuadrado depende De la longitud de su lado X cm X cm

Un grifo vierte 15 litros por minuto Un grifo vierte 15 litros por minuto. Es evidente que Tiempo y Volumen son en este caso dos magnitudes directamente proporcionales. Si construimos una tabla y dibujamos la gráfica obtendremos: Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15, que es la razón de proporcionalidad.

Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razón a dan lugar a gráficas del tipo anterior que son rectas que pasan por el origen de coordenadas, cuya ecuación es y = a · x. Al número a se le llama pendiente.

¿Qué hace variar la inclinación de la recta? Si y = a x, el parámetro a será la pendiente de la recta Pendiente : Grado de inclinación que tiene una recta respecto del eje x.

Pendiente de una recta

Pendiente Pendiente también se define como la razón entre la elevación de un punto y el avance del mismo punto

Pendiente Hagamos la grafica de la función lineal 4 elevación 7 avance

¿Qué es una Función? Una función es una relación entre dos variables , donde cada elemento del dominio posee una única imagen en el recorrido. y = 5x Recorrido -5, -10, 0, 5, 10, 15, 20, 25 -1 -2 1 2 3 4 5 -2 -4 -5 -10 5 10 12 15 20 25 Dominio Codominio

Funciones Algunas cuestiones especialmente importantes DOMINIO : Conjunto de números reales que generan una imagen en la función. Toda función vive gracias al DOMINIO RECORRIDO: Es el conjunto de números reales que se obtiene a partir de cada elemento del dominio El recorrido depende del dominio y de la función que se tenga.

Cuando queramos indicar una función y distinguirla de otra Notaciones importantes Cuando queramos indicar una función y distinguirla de otra la anotaremos f(x), g(x), H(x), etc f(x) se lee f de x, o también imagen de x en f

Función Cada función señala una relación de dependencia entre dos variables. Consideremos la siguiente situación Un cilindro de radio r y altura h. Asi el volumen se convierte en una función en dos variables

Pero si dejamos la radio fijo, y solo variamos la altura nos queda una función que depende en una sola variable, y si consideramos que el radio mide 10 cm. El volumen queda Lo cual nos lleva a la forma anterior y = ax

¿Cuál será el volumen de un cilindro cuya altura mida 12 cm? Osea h = 12 cm, reemplacemos V(12) = 100 12 = 3768 cm3 A este proceso lo llamamos calcular la imagen de 12 Company Logo

Detalles a considerar, Solo se pueden calcular volumen de números positivos h  0 El volumen es siempre positivo A pesar que es posible calcular el valor cuando h = -20, este carece de absoluto sentido.

Los elementos reflexionados anteriormente los conocemos como DOMINIO Y RECORRIDO DOMINIO CONTIENE A LOS Números REALES QUE PODEMOS REEMPLAZAR RECORRIDO LOS RESULTADOS OBTENIDOS

EL DOMINIO DEPENDE DE DOS COSAS FUNDAMENTALES EL CONTEXTO LA EXPRESION ALGEBRAICA

lado de un cuadrado y f(x) representa su área Considera la función pero si x representa el lado de un cuadrado y f(x) representa su área entonces el dominio serán los números reales positivos x x

Quitemos el contexto, y pensemos que no tiene un contexto necesariamente, en ese caso, la expresión algebraica manda y nos señala que no existe dificultad para elevar un número al cuadrado, en ese caso el dominio serán los números reales. Dom f = R

6 6 Cálculo de imágenes Calcular el valor de f( 6) Se reemplaza el 6 en cada lugar donde esta x 6 6

Dom f = R – {-3} ¿Qué números no podemos reemplazar en la x? No olvides que la división por cero NO EXISTE Dom f = R – {-3} Esto nos indica que podemos reemplazar cualquier valor excepto el -3

Dadas las siguientes funciones calculen en cada una las Imágenes que se indican

ACTIVIDAD GRUPAL

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ACTIVIDAD 2

ACTIVIDAD 3

ACTIVIDAD 4

ACTIVIDAD 5

Thank You ! Pedro Godoy Gómez