LOGO Funciones Pedro Godoy Gomez Profesor de matemática.

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1 LOGO Funciones Pedro Godoy Gomez Profesor de matemática

2 www.themegallery.com GRÁFICAS Las gráficas son medios potentes para tratar gran número de problemas. Se utilizan en todas las disciplinas: física, biología, economía, sociología, psicología, etc.

3 www.themegallery.com RELACIÓN ENTRE LA HORA DEL DÍA Y LA SOMBRA TIEMPO TLONGITUD DE LA SOMBRA 9:0021 M 9:3019 M 10:0015,5 M 10:3013 M 11:0011 M 11:309 M 12:008 M 12:307 M 13:006 M 14:007 M

4 www.themegallery.com Grafique la tabla anterior

5 www.themegallery.com VEA ESTO ¡Cuidado con los medicamentos! En las instrucciones de un medicamento, que hay que administrar a un diabético, se establece que la dosis del mismo, expresada en mg, está en función del peso del paciente según la gráfica. ¿QUÉ CONLUSIONES PUEDES OBTENER DEL GRAFICO?

6 www.themegallery.com Observa que a una persona de 50 Kg le corresponde una dosis de 20 mg. Diremos que 20 es la imagen de 50 o que 50 es un original de 20 y escribiremos 50 Kg → 20 mg.

7 www.themegallery.com Company Logo a. ¿Cuál es la imagen de 75?, es decir, ¿qué dosis hay que suministrar a una persona de 75Kg?

8 www.themegallery.com Company Logo b. ¿Se puede administrar a bebés?¿Y a personas obesas?.

9 www.themegallery.com Company Logo c. ¿Qué peso tenía una persona a la que suministraron 40 mg?

10 www.themegallery.com Company Logo d. ¿Para qué peso la dosis es máxima? Diremos que la variable dosis depende (o es función) de la variable peso: Peso → Dosis

11 www.themegallery.com Company Logo Después de bañarse en su casa, Ana dibuja un esbozo de gráfica que muestra lo que ocurre con el volumen de agua de su baño en función del tiempo transcurrido.

12 www.themegallery.com Company Logo a. Si ambos grifos (caliente y frío) se abrieron al principio, ¿qué puede haber ocurrido en A? b. Cuando el baño se está vaciando, Ana pone el pie en el agujero del desagüe. ¿Qué parte de la gráfica muestra esto? c. ¿Cuándo aumenta el volumen del agua? ¿Cuándo disminuye? d. ¿Cuándo se alcanza el volumen máximo de agua? ¿Y el mínimo?

13 www.themegallery.com Vamos de Graneros a unas clases en Rancagua. La distancia aproximada es de unos 10 Km. La clase comienza a las 8:15 y salimos de casa a las 7:30. Las siguientes gráficas muestran cómo las cosas son bastante distintas para Antonio, Bernabé, Carlos y Alicia.

14 www.themegallery.com Company Logo Antonio: Salgo con calma. En el camino comienzo a pedalear más fuerte. Bernabé: Acababa de salir cuando me di cuenta de que olvidé las zapatillas y tuve que volver. Carlos: Fui en moto, pero por el camino me quedé sin gasolina. Así que pie al suelo y andando. ¿Qué grafica corresponde a cada uno?

15 www.themegallery.com Conclusiones  Cada una de las situaciones anteriores nos muestra que siempre existe una dependencia  Existe una variable independiente y otra dependiente  Algunas de estas dependencias se pueden representar algebraicamente X cm Por ejemplo el área del cuadrado depende De la longitud de su lado X cm

16 www.themegallery.com Un grifo vierte 15 litros por minuto. Es evidente que Tiempo y Volumen son en este caso dos magnitudes directamente proporcionales. Si construimos una tabla y dibujamos la gráfica obtendremos: Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15, que es la razón de proporcionalidad.

17 www.themegallery.com Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razón a dan lugar a gráficas del tipo anterior que son rectas que pasan por el origen de coordenadas, cuya ecuación es y = a · x. Al número a se le llama pendiente.

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19 ¿Qué hace variar la inclinación de la recta? Si y = a x, el parámetro a será la pendiente de la recta Pendiente : Grado de inclinación que tiene una recta respecto del eje x.

20 www.themegallery.com Pendiente de una recta

21 www.themegallery.com Pendiente Pendiente también se define como la razón entre la elevación de un punto y el avance del mismo punto

22 www.themegallery.com Pendiente Hagamos la grafica de la función lineal 4 elevación 7 avance

23 www.themegallery.com ¿Qué es una Función? Una función es una relación entre dos variables, donde cada elemento del dominio posee una única imagen en el recorrido. -2 0 1 2 3 4 5 -2 -4 -5 -10 0 5 10 12 15 20 25 y = 5x DominioCodominio Recorrido -5, -10, 0, 5, 10, 15, 20, 25

24 www.themegallery.com Funciones Company Logo Algunas cuestiones especialmente importantes Toda función vive gracias al DOMINIO DOMINIO : Conjunto de números reales que generan una imagen en la función. RECORRIDO: Es el conjunto de números reales que se obtiene a partir de cada elemento del dominio El recorrido depende del dominio y de la función que se tenga.

25 www.themegallery.com Company Logo Notaciones importantes Cuando queramos indicar una función y distinguirla de otra la anotaremos f(x), g(x), H(x), etc f(x) se lee f de x, o también imagen de x en f

26 www.themegallery.com Función  Cada función señala una relación de dependencia entre dos variables. Consideremos la siguiente situación Un cilindro de radio r y altura h. Asi el volumen se convierte en una función en dos variables Company Logo

27 www.themegallery.com  Pero si dejamos la radio fijo, y solo variamos la altura nos queda una función que depende en una sola variable, y si consideramos que el radio mide 10 cm. El volumen queda Lo cual nos lleva a la forma anterior y = ax

28 www.themegallery.com  ¿Cuál será el volumen de un cilindro cuya altura mida 12 cm? Osea h = 12 cm, reemplacemos V(12) = 100 12 = 3768 cm3 A este proceso lo llamamos calcular la imagen de 12 Company Logo

29 www.themegallery.com Detalles a considerar,  Solo se pueden calcular volumen de números positivos  h  0  El volumen es siempre positivo  A pesar que es posible calcular el valor cuando h = -20, este carece de absoluto sentido. Company Logo

30 www.themegallery.com  Los elementos reflexionados anteriormente los conocemos como DOMINIO Y RECORRIDO  DOMINIO CONTIENE A LOS Números REALES QUE PODEMOS REEMPLAZAR  RECORRIDO LOS RESULTADOS OBTENIDOS Company Logo

31 www.themegallery.com  EL DOMINIO DEPENDE DE DOS COSAS FUNDAMENTALES  EL CONTEXTO  LA EXPRESION ALGEBRAICA Company Logo

32 www.themegallery.com Considera la función pero si x representa el lado de un cuadrado y f(x) representa su área entonces el dominio serán los números reales positivos x x

33 www.themegallery.com  Quitemos el contexto, y pensemos que no tiene un contexto necesariamente, en ese caso, la expresión algebraica manda y nos señala que no existe dificultad para elevar un número al cuadrado, en ese caso el dominio serán los números reales. Dom f = R

34 www.themegallery.com Cálculo de imágenes Calcular el valor de f( 6) Se reemplaza el 6 en cada lugar donde esta x 6 6

35 www.themegallery.com  Dom f = R – {-3} ¿Qué números no podemos reemplazar en la x? No olvides que la división por cero NO EXISTE Esto nos indica que podemos reemplazar cualquier valor excepto el -3

36 www.themegallery.com Dadas las siguientes funciones calculen en cada una las Imágenes que se indican Calculen las 6 imágenes en cada una de las funciones

37 LOGO Pedro Godoy Gómez