1a: Gráficos, Variables y Ecuaciones

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1a: Graficos, Variables y Ecuaciones Septiembre 2014

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Los gráficos son interpretaciones visuales de datos o funciones matemáticas; en economía, al igual que en muchas otras disciplinas, la información numérica y los conceptos económicos son mucho mas fácil de visualizar en forma gráfica En economía, los conceptos, teorías y relaciones se agrupan en modelos los cuales se representan de tres formas que se complementan unas a otras, estas son: Desarrollo Verbal Expresión Matemática Representación Grafica Por ejemplo si leemos un articulo de periódico en donde se discute como disminuye el envío de mensajes de texto con la edad. El autor efectuó una encuesta entre personas de diferente edad preguntando cuantos mensajes de texto en promedio al mes enviaban. Identificamos en el articulo dos variables. Una variable es una magnitud que puede tomar mas de un valor ,la temperatura es una variable, puede tomar diferentes valores dependiendo del lugar o de la hora etc. 1a: Graficos, Variables y Ecuaciones Septiembre 2014

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En el ejemplo anterior tenemos dos variables: el numero de mensajes de texto enviados y la edad de quienes los mandan; esto no permitiría desarrollar un modelo, cuyo desarrollo verbal podría ser: “ A medida que la gente se hace mayor, utiliza menos la mensajería de texto ” Olvidemos por un momento la expresión matemática ( volveremos luego a ella) y pasemos directamente a la representación gráfica. Nos basaremos en los datos que el periodista recolectó y que los presentamos en la Tabla 1 . Tabla 1 EDAD MENSAJES ENVIADOS AL MES 15 80 25 60 35 40 45 20 55 1a: Graficos, Variables y Ecuaciones Septiembre 2014

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Eje de las Ordenadas (Y) Gráfico 1 80 (15,80) Tabla 1 A 70 EDAD MENSAJES ENVIADOS AL MES 15 80 25 60 35 40 45 20 55 60 (25,60) B 50 Mensajes enviados( Unid/mes) 40 (35,40) C 30 20 (45,20) D 10 E (55,0) 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 Eje de las Abscisas (X) EDAD ( años) Origen 1a: Graficos, Variables y Ecuaciones Septiembre 2014

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La mayoría de los gráficos que muestran una relación entre variables ( económicas o no) representan una relación de causalidad, es decir el valor que toma una variable determina el valor que tomara la otra La variable cuyo valor determina el valor de la otra se conoce como variable independiente, por su parte, la variable afectada, es decir la que su valor depende del valor de la variable independiente, se conoce como variable dependiente Por costumbre, colocamos a la variable independiente en el eje de las abscisas (X),mientras que colocamos a la variable dependiente en el eje de las ordenadas (Y), pero esto tiene sus excepciones, sobre todo en economía como veremos en capítulos posteriores. En el ejemplo que hemos venido tratando, la edad sería la variable independiente por lo que la colocamos en el eje de las abscisas, mientras que la cantidad de mensajes dependen de la edad por lo que constituye la variable dependiente y la colocamos en el eje de las ordenadas 1a: Graficos, Variables y Ecuaciones Septiembre 2014

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El Grafico 2 contiene la misma información que el Grafico 1 que ya vimos, hemos trazado una línea que une los puntos A, B,C,D y E, a esta línea la llamamos la curva (aunque como en este caso se trate de una línea recta). Cuando la curva que muestra la relación entre dos variables es una línea recta, decimos que las variables tienen una relación lineal, si la curva que muestra la relación entre las variable no es una recta, estas tienen una relación no lineal Además, en este caso, las variables se mueven en sentidos opuestos, es decir cuando la variable independiente aumenta, la dependiente disminuye, esto constituye una relación inversa, si ambas variables se movieran en la misma dirección constituiría una relación directa Por tanto, la Edad y la Cantidad de Mensajes de Texto Enviados por Mes presentan una relación lineal inversa Gráfico 2 80 (15,80) A 70 60 (25,60) B Mensajes de texto enviados( Unid/mes) 50 40 (35,40) C 30 20 (45,20) D 10 E (55,0) 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 EDAD ( años) 1a: Graficos, Variables y Ecuaciones Septiembre 2014

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La pendiente La pendiente de una curva o una recta no solo es una medida de su inclinación, mas importante aún es una medida de sensibilidad. La pendiente de la curva nos indica el grado de respuesta de la variable dependiente a cambios en la variable independiente. En nuestro ejemplo nos indicaría que tantos menos mensajes de texto son enviados cuando la edad aumenta en un año. La pendiente por tanto es muy importante, especialmente en economía, ya que está íntimamente ligado con el análisis marginal; es tan importante que ofrece valiosa información en cuanto a la relación de dos variables aun cuando no tengamos información numérica de la misma. Cuando la “ curva” es una relación lineal, la pendiente es la misma en todos sus puntos y se calcula de la siguiente forma 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒=𝑏= 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑌 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑥 = ∆𝑌 ∆𝑋 Pendiente entre A y B ∆Y ∆X = −20 10 =−2 Gráfico 3 A (15,80) 80 ∆x = 25-15= 10 70 B 60 (25,60) Mensajes de texto enviados( Unid/mes) 50 C ∆Y = 60-80= -20 40 (35,40) 30 D 20 (45,20) 10 E (55,0) 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 EDAD ( años) 1a: Graficos, Variables y Ecuaciones Septiembre 2014

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Dos casos especiales: Cuando la relación lineal es una línea horizontal -Gráfico 4- Panel (a), la variación de la variable dependiente (∆Y) es 0, ya que solo acepta un valor (5), por lo tanto la pendiente será cero ya que 0 dividido entre cualquier número es cero 𝑏= ∆𝑌 ∆𝑋 = 0 ∆𝑋 =0 De igual forma, cuando la relación lineal es una línea vertical – Gráfico 4 -Panel (b), la variación de la variable independiente (∆X) es 0, ya que solo acepta un valor (10), por lo tanto la pendiente será infinito ya que cualquier numero dividido entre 0 será infinito 𝑏= ∆𝑌 ∆𝑋 = ∆𝑌 0 = ∞ Variable Dependiente Y Gráfico 4 ∆Y = 0 𝑏= ∆𝑌 ∆𝑋 = 0 ∆𝑋 =0 (a) 5 Variable Independiente X Variable Dependiente Y (b) ∆X = 0 𝑏= ∆𝑌 ∆𝑋 = ∆𝑌 0 = ∞ 10 Variable Independiente X 1a: Graficos, Variables y Ecuaciones Septiembre 2014

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El signo de la pendiente nos indica si la relación entra las variables es directa (+) o inversa (-) Relación Directa b = Positivo Variable Dependiente Y Variable Dependiente Y Relación Inversa b = Negativo A 6 6 B Gráfico 5 4 B 4 A 3 4 Variable Independiente X 3 4 Variable Independiente X Pendiente de A →B 𝑏= ∆𝑌 ∆𝑋 = 4−6 4−3 =−2 Pendiente de A → B 𝑏= ∆𝑌 ∆𝑋 = 6−4 4−3 =2 1a: Graficos, Variables y Ecuaciones Septiembre 2014

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La Ecuación de la Línea Recta: Cuando entre dos variables existe una relación de causalidad, por lo general esa relacion puede expresarse de forma matemática, como una ecuación, dependiendo de la relación entra las variables, la ecuación puede tomar diversas formas, lineal, cuadrática, logarítmica, exponencial, etc. Por los momentos, nos limitaremos al la mas sencilla de las formas, la lineal o Ecuación de La Línea Recta La notación general de la ecuación de la línea recta es la siguiente: 𝑌= 𝑎 +𝑏𝑋 Variable Dependiente Variable Independiente Ordenada en el Origen Pendiente 1a: Graficos, Variables y Ecuaciones Septiembre 2014