Cinética de Sistemas Oscilatorios Los sistemas de cultivos mezclados son de atención considerable porque causan problemas en el control de desechos biológicos, donde ocurren normalmente sistemas de cultivos mezclados. También en la microflora de los estuarios y en la micro fauna hay sistemas de presa – predador. El sistema presa – predador se puede describir bajo condiciones de cultivo continuo, por el siguiente conjunto de ecuaciones: (1) (2) (3) (4) (5)

Y1: factor de rendimiento total para el crecimiento de la presa donde: D: velocidad de dilución S: [sustrato limitante] del crecimiento para las células huésped, presa. S0: [sustrato limitante] del crecimiento en un medio fresco X1: [masa celular seca] de la población del huésped, presa X2: [masa celular seca] de la población del predador Y1: factor de rendimiento total para el crecimiento de la presa Y2: factor de rendimiento total para el crecimiento del predador μ1: velocidad específica de crecimiento para la población de la presa μ2: velocidad específica de crecimiento para la población del predador Además de la suposición de mezclado completo en las ecuaciones 1 a 5, debe hacerse otra suposición, que los organismos huésped tomen nutrientes solubles representados por el sustrato limitante del crecimiento, mientras que los predadores tomen sólo los organismos huésped como alimento, sin metabolismo directo del sustrato soluble – fundamento de las ecuaciones anteriores.

Si μ2 es proporcional a X1 en la ecuación (5), ej: puesto que: α´ es una constante de proporcionalidad Las ecuaciones (2 y 3) se reducen a: (6) (7) (8) El análisis en fase plana de las ecuaciones (7 y 8) muestra que las poblaciones de X1 y X2 oscilan alrededor de un punto vortex (D / α´ para X1, Y2 (μ1 - D / α´ para X2), puesto que α´ e Y2 son constantes, respectivamente. Este es el modelo clásico de Lotka – Volterra. Una desventaja de este modelo, es que la oscilación depende exclusivamente de las condiciones iniciales del sistema. Canale presentó su análisis en fase plana usando relaciones tipo a las de Monod entre, μ1 y S, y μ2 y X1, respectivamente, en vez de la suposición lineal de la ecuación (6), ej:

donde: Ks´: constante de saturación para el predador Por tratamiento en computadora de las ecuaciones (1, 2, 3 y con 7, 8) se obtuvo la figura 1. Dependiendo de estos valores, las oscilaciones de X1 y X2, y S son muy obvias como lo ilustra la figura. En particular se nota, una gran amplitud de oscilación en S.

Fig.1: Simulación de un cultivo mixto en continuo (Colpidium campylum y Alcaligenes faecalis). D = 0.04 hr -1 μ1máx: 0.5 hr -1 μ2máx : 0.11 hr -1 Ks = Ks´= 10 mg/l Y1 = 0.14 Y2 = 0.5 S1 = 10 mg/l X1i = 25 mg/l X2i = 7 mg /l i: condición inicial

De acuerdo a Canale, el punto singular del primer cuadrante del plano X2 – X1 es inestable (el predijo la existencia de un ciclo límite). La oscilación marcada de s se ejemplifica en la Fig. 2, en un cultivo continuo de Alcalígenes faecalis (presa, X1) y Colpidium campylum,(predador, X2) a 20 ºC, pH 6.5 a 7, usando asparigina como sustrato limitante de la bacteria. En términos más generales y cualitativos, otro conjunto de ecuaciones para el crecimiento en un cultivo mezclado bajo condiciones de corrida continua involucra: (9) (10) (11) (12)

puesto que: Xn: [masa celular] de la especie n-th del organismo μn: velocidad específica de crecimiento de la especie n-th La velocidad específica de crecimiento μn, de cualquier especie n, puede ser aumentada, inhibida ó no ser afectada por cualquiera de las otras especies. Dependiendo del modelo particular usado para expresar la velocidad específica de crecimiento , uno puede observar el fenómeno de interés de competición, inhibición, mutualismo, comensalismo ó amensalismo.

Bibliografía Aiba Suichi, Humphrey Arthur E, Millis Nancy M. “Biochemical Engineering” 2 ed. Academic Press, INC. 1973