MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.) CARACTERÍSTICAS: LA PARTÍCULA SIGUE UNA TRAYECTORIA RECTA OSCILA ALREDEDOR DE UNA POSICIÓN DE EQUILIBRIO EL MOVIMIENTO ES PERIÓDICO (T) ESTÁ SOMETIDO A FUERZAS RESTAURADORAS – INTENTAN HACER VOLVER AL CUERPO A SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO. PUEDE SER: LIBRE: NO ACTÚAN FUERZAS DISIPATIVAS – EL SISTEMA OSCILA INDEFINIDAMENTE (NO REAL) AMORTIGUADO: ACTÚAN FUERZAS DISITATIVAS (ROZAMIENTOS) – EL SISTEMA ACABARÁ DETENIENDOSE EN SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO
POSICIÓN DE EQUILIBRIO Posición de equilibrio – Punto donde no actúan las fuerzas restauradoras. Se suele tomar como origen del sistema de coordenadas. Elongación – Separación con respecto a la posición de equilibrio de la partícula en cualquier instante del tiempo. (Puede ser positiva o negativa). Amplitud – Valor máximo de la elongación. x(t)Elongación POSICIÓN DE EQUILIBRIO AAMPLITUD x=-A x=0 x=A x(t)
CÁLCULO DE LA ELONGACIÓN DEL M.A.S. Supongamos que p’ sigue un M.C.U. La proyección de p’ sobre el eje-x es p p sigue un M.A.S.entre +A y -A p/2 coseno -1 1 p’ A j p p x 3p/2 jo = fase inicial (cuando t = 0) j0= representa en radianes la posición “xo” inicial v x(t) x=-A x=0 x=A
I cuadrante (+A → 0) p/2 coseno -1 1 p 3p/2 x(t) x=-A x=0 x=A
II cuadrante (0 → -A) p/2 coseno -1 1 p 3p/2 x(t) x=-A x=0 x=A
III cuadrante (-A→ 0) p/2 coseno -1 1 p 3p/2 x(t) x=-A x=0 x=A
IV cuadrante (0 → +A) p/2 coseno -1 1 p 3p/2 x(t) x=-A x=0 x=A
Cinemática del movimiento armónico simple (MAS) Una partícula tiene un MAS si su elongación x cumple: Varía periódicamente entre los valores +A y -A Amplitud (máxima elongación) Equilibrio Fase (rad) Fase inicial (cuando t =0) Periodo (intervalo de tiempo para el que el valor de x se repite) Frecuencia (se mide en Hz) Frecuencia angular (rad/s)
La velocidad v de una partícula que tiene un MAS es, Varía periódicamente entre los valores A y -A La aceleración a de una partícula que tiene un MAS es, Varía periódicamente entre los valores 2A y -2A. En el MAS a es proporcional y opuesta a x. Representación del desplazamiento en función del tiempo Elongación Velocidad Aceleración T/4 T/2 3T/4 T
v a - wA + w2A - w2A x=-A x=0 x=A x(t) + w2A - w2A + wA
DINÁMICA DE UN M.A.S.
ENERGÍA EN UN M.A.S.
Principio conservación Energía Mecánica -A 0 A x(t) Energías E. POTENCIAL E. CINÉTICA E. MECÁNICA Principio conservación Energía Mecánica
Velocidad en función de la posición
El péndulo simple: L -x -La componente tangencial Px, siempre actúa hacia la posición de equilibrio, en sentido opuesto al desplazamiento. -La componente tangencial de la fuerza de la gravedad es una fuerza de recuperación. L -x Py Px P
Ejercicios: 1.-Un muelle de constante elástica 200 N/m, longitud natural 50 cm y masa despreciable se cuelga del techo. Posteriormente se engancha de su extremo libre una masa de 5 kg. Calcula la longitud final del muelle cuando el sistema esté en equilibrio. (Sol: x=24.5 cm) 2.- Un oscilador armónico formado por un muelle de masa despreciable, y una masa en el extremo de valor 40 g, tiene un periodo de oscilación de 2 s. Si la amplitud de las oscilaciones del oscilador es 10 cm, ¿cuánto vale, la máxima energía potencial del oscilador y la máxima velocidad que alcanzará su masa.(Sol: Ep=1.975 10-3J; v=0.314m/s). 3.- Una partícula de masa 2 kg efectúa un movimiento armónico simple de amplitud 1 cm. La elongación y la velocidad de la partícula en el instante inicial t = 0 s valen, 0.5 cm y 1 cm/s, respectivamente. a) Determina la fase inicial y la frecuencia del M.A.S.(Sol: jo=p/6 rad;; u=0.18 Hz) b) Determina la fuerza elástica en el instante 1,5 s.(Sol:F =_0.021N) b) Calcula la energía total del M.A.S. así como la energía cinética y potencial en el instante t = 1.5 s.(Sol: ET=1.34 10-4J;;Ec=5.37 10_5J;;Ep=7.99 10-5J)
4.-Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple: a) Escribe la ecuación de movimiento si la aceleración máxima es 5p2 cms-2, el periodo de las oscilaciones 2 s y la elongación del cuerpo al iniciarse el movimiento 2.5 cm. b) Representa gráficamente la elongación y la velocidad en función del tiempo y comenta la gráfica resultante.
5.-Una partícula de masa m = 5 g oscila armónicamente a lo largo del eje OX en la forma x = A cos ωt, con A = 0,1 m y ω = 2p s-1. a) Determina y representa gráficamente la velocidad de la partícula en función del tiempo. b) Calcula la energía mecánica de la partícula. en el instante t = T/3.(Sol 9.87 10-3J) c) Determina y representa gráficamente la energía potencial de m en función del tiempo. d) Representa gráficamente la fuerza elástica sobre m en función del tiempo. e) Justifica el signo de la velocidad y de la elongación para un ciclo completo. a c d
6.-Una masa de 2 kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora vale 10 N/mm. El muelle se comprime 5 cm desde la posición de equilibrio (x = 0) y se deja en libertad. Determinar: a) La expresión de la posición de la masa en función del tiempo, x = x(t). b) Los módulos de la velocidad y aceleración de la masa en un punto situado a 2 cm de la posición de equilibrio. c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria. d) La energía mecánica del sistema oscilante. 7.- Una partícula de 5 g de masa vibra con una amplitud de 10 cm y una frecuencia de 50 Hz. Calcular: a) La constante restauradora del sistema. b) La ecuación de la posición si en el instante inicial se encuentra en -A. c) La velocidad 0.1 s después de iniciado el movimiento. d) La velocidad de la partícula cuando se encuentra a + 2 cm con sentido de movimiento hacia elongaciones negativas. e) Representar la Ec, la Ep y la Em para medio periodo. 8.- Una persona de masa 60 kg que está sentada en el asiento de un vehículo, oscila verticalmente alrededor de su posición de equilibrio como un oscilador armónico simple. Su posición inicial es y(0)=1.2cos(p/6) cm, y su velocidad inicial v(0)=-2,4sen(p/6) m/s. Calcula la ecuación de la elongación y(t) y la ecuación de la energía mecánica Em(t).
9.- Una partícula de 20 g oscila siguiendo un MAS: Determina: a) Las ecuaciones de la aceleración y la ecuación de la elongación en función del tiempo. b) La Ec y la Ep en el instante t = T.(Sol: Ec = 9J;Ep = 0J).-
10.-Una bolsa con 2 kg de dulces cuelga de un muelle que se alarga 50 cm con esa carga, quedando el sistema en equilibrio a una altura de 1 m sobre la cabeza de un niño. Si el niño tira de la bolsa hacia abajo otros 25 cm y la suelta ¿cuánto tiempo tardará la bolsa en regresar a la altura de 1 m sobre su cabeza?.(Sol: 0.355s)
x=A·sen(wx t) y=A·sen(wy t+d ) Figuras de Lissajous -Las trayectorias del movimiento resultante de componer dos M.A.S. de direcciones perpendiculares se denomina figuras de Lissajous. -Tales trayectorias dependen de la relación de frecuencias angulares wx/wy y de la diferencia de fase (d). x=A·sen(wx t) y=A·sen(wy t+d ) Dibujo http://fisica.udea.edu.co/~mpaez/lissajous/Fig2p.html Vídeo http://www.youtube.com/watch?v=2_VLdkaXg4I Fundamento teórico http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/lissajous/lissajous.htm