ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA En una ecuación trigonométrica la incógnita aparece como argumento en una o varias razones trigonométricas. Resolver la ecuación es hallar el argumento.

TIPOS DE ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA Existen tres tipos de ecuaciones: Tipo 1: Nos dan una razón trigonométrica y hallamos el argumento. Ejemplos: sen α = 1 cos α = - 1

TIPOS DE ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA Tipo 2: Nos dan una misma razón trigonométrica con distintos argumentos, las cuales hay que relacionar. Ejemplos: 3 cos α = sec α tg α = tg 2.α

TIPOS DE ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA Tipo 3: Nos dan dos o más razones trigonométrica con distintos argumentos, en cuyo caso hay que expresar todas en función de una de ellas para resolver la ecuación. Ejemplo: cos α = 2.sen α sen2 α = cos α + 0,25

IC IIC IIIC IVC sen cos tan cot Signos de las razones trigonométricas razón IC IIC IIIC IVC sen cos tan cot + + + + + + + +

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL SEGUNDO CUADRANTE Al ángulo marcado como 180 – α le corresponden las mismas funciones trigonométricas del ángulo α del primer cuadrante. Aplicando las definiciones de las funciones trigonométricas se tiene: ,

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL TERCER CUADRANTE Al ángulo marcado como 180 + α que está ubicado en el III cuadrante le corresponden las mismas funciones trigonométricas del ángulo  α del primer cuadrante. Aplicando las definiciones de las funciones trigonométricas se tiene:

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL CUARTO CUADRANTE Al ángulo marcado como 360 - α que está ubicado en el IV cuadrante le corresponden las mismas funciones trigonométricas del ángulo  α del primer cuadrante. Aplicando las definiciones de las funciones trigonométricas se tiene:

EJEMPLOS TIPO 1 sen α = 1  α = arcsen 1 = π/2 + 2kπ cos α = - 1  α = arcos (-1) = π + 2kπ tg α = 1  α = arctg 1 = π/4 + kπ

3 cos α = sec α EJEMPLOS TIPO 2 3 cos α = 1 / cos α cos2 α = 1/3 α = arcos √3 / 3 = 54’73º y - 54’73º α = arcos (-√3 / 3) = 125’26º y 234’73º

tg α = tg 2.α EJEMPLOS TIPO 2 tg α = 2.tg α / (1 – tg2 α) 0 = tg α.(tg2 α – 1) = tg α. (tg α + 1) (tg α – 1) g α = 0  α = arctg 0 = 0 + k.π rad g α = 1  α = arctg 1 = π/4 + k.π rad tg α = -1  α = arctg (-1) = 3π/4 + k.π rad

4 sen α = cosec α EJEMPLOS TIPO 2 4 sen α = 1 / sen α sen2 α = 1/4 α = arcsen ½ = π/6 + 2kπ rad y 7π/6 + 2kπ rad α = arcsen (- ½) = - π/6 +2kπ rad y 3π/2 + 2kπ rad

cos α = 2.sen α EJEMPLOS TIPO 3 ½ = sen α / cos α ½ = tg α α = arctg ½ = 26’56º + 180º.k

sen2 α = cos α + 0,25 EJEMPLOS TIPO 3 1 - cos2 α) = cos2 α + 0,5.cos α + 0,062 0 = 2.cos2 α + 0,5.cos α – 0’9375 Ecuación 2º grado x=cos α cos α = (- 0’5 ± √ [ 0,25 – 4.2.(– 0’9375) ] ) / 4 cos α = (- 0’5 ± 2,7838) / 4 cos α = 0,4460  α = arcos 0’4460 = ± 63’51º .k cos α = - 0,8210  α = arcos -0’8210 = 145’18º y 214’82º + 360º.k

sen α – 2.cos α = 0 EJEMPLOS TIPO 3 sen α – 2.(±√(1 - sen2 α)) = 0 Elevando todo al cuadrado sen2 α = 4.(1 - sen2 α) sen2 α = 4 – 4.sen2 α 5.sen2 α = 4  sen2 α = 4/5 sen α = ± 2/√5 = ± 2.√5 / 5 = ± 0’4.√5 α = arcsen 0’4.√5 = ± 63’43º + 180º.k

4 + 5sen x = 2(1–sen2x) 4 + 5sen x = 2cos2 x Ejercicio 1 Halla el conjunto solución de la siguiente ecuación: 4 + 5sen x = 2cos2 x 4 + 5sen x = 2(1–sen2x)

4 + 5senx = 2(1–sen2x) 4 + 5senx = 2 – 2sen2x

S=  =30o 2senx+1=0 ó senx+2=0 1 senx= –2 senx = 2 imposible 180o +  III C 180o+30o =210o sen= 1 2 360o –  IV C  =30o 360o–30o =330o S= 210o + k360o 330o + k360o kZ ó

Resuelve la ecuación: 5 3 tan + cot = sen ( 0 <  <  ) Ejercicio 2 Resuelve la ecuación: 5 3 tan + cot = sen ( 0 <  <  )

3 sen cos sen cos + sen 5 = · sen cos 3 sen2 + cos2 = 5 cos 3 tan + cot = sen 3 sen cos sen cos + sen 5 = · sen cos 3 sen2 + cos2 = 5 cos 3(1 – cos2) + cos2 = 5 cos  3 – 3 cos2 + cos2 = 5 cos  3 – 2 cos2 = 5 cos  2 cos2 + 5 cos – 3 = 0

 Imposible ( 0 <  <  ) 2 cos2 + 5 cos – 3 = 0 1 2 ó cos = – 3  =  3 Imposible ( 0 <  <  )