ecuaciones

¿Qué es una ecuación? Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación. Ejemplo:   La ecuación: 3X - 8 = 10 sólo se cumple para X = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que X = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, X = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)

¿Qué es una ecuación cuadrática? Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.

Soluciones de una ecuación cuadrática: Fórmula resolvente El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada. Dicho procedimiento no será cubierto en este documento. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada fórmula resolvente:

La fórmula genera dos respuestas Una con el signo + y otra con el signo - antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula resolvente. Es de hacer notar que, utilizar la fórmula resolvente es un procedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un número, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual.

Tipos de soluciones: Reales e imaginarias Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también llamadas raíces, a saber:  Dos raíces reales distintas Una raíz real (o dos raíces iguales) Dos raíces imaginarias distintas El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante D como: D = b2 - 4.a.c

Ejemplos Verificación de las soluciones Se identifican las letras, cuidando de que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = - 5 ; b = 13 ; c = 6. Se aplica la fórmula:  Como las raíces cuadradas no son usualmente memorizadas, deben sacarse con calculadora, por tanteo o por el procedimiento manual. La raíz buscada es 17, ya que el cuadrado de 17 es precisamente, 289. Se tiene entonces que:  Probando con x = 3. Resulta: -5.(3)2 + 13.(3) + 6 = -45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro.  Probando X = -2/5, se tiene Obsérvese que la fracción 20/25 se simplificó a 4/5 antes de sumarla con la otra. Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 2 y -2/5 son las raíces de - 5x2 + 13x + 6 = 0

Resolver: 6x - x2 = 9 No pueden identificarse las letras directamente, ya que la ecuación está desordenada y no hay un cero del lado derecho de la igualdad, por lo tanto, deben hacerse los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma deseada. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta: - x2 +6x - 9 = 0. Ahora se identifican letras: a = -1 ; b = 6 ; c = -9 ; y se aplica la fórmula resolvente: Obsérvese que el discriminante es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x1 = x2 = 3. Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que : 6.3 - 32 = 18 - 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta. 5.3.- Resolver: -6x + 13 = - x2 Nuevamente hay que ordenar y trasponer para obtener: x2 -6x + 13 = 0 ; Identificando letras: a = 1 ; b = -6 ; c = 13.