@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B1 TEMA 2 * 4º ESO Opc B POLINOMIOS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B2 TEMA 2.5 * 4º ESO Opc B TEOREMAS DEL RESTO Y DEL FACTOR

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B3 TEOREMAS TEOREMA DEL RESTO El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x ‑ a), es el valor del polinomio al sustituir la variable x por el valor de a. Si el binomio es de la forma (x + a), sustituiremos la x por ‑ a. TEOREMA DEL FACTOR Si el resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x ‑ a), es cero, el binomio (x – a) es un factor de P(x). P(x) = (x – a).Q(x) Además, si el resto es cero, la división es exacta y el valor de a se dice que es un cero o una raíz del polinomio. Si un polinomio es de grado n, tendrá como máximo n raíces reales. Si un polinomio es de grado impar tendrá obligatoriamente una raíz real. Si es de grado par tendrá 0, 2, 4, … raíces reales.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B4 EJEMPLOS DEL TEOREMA DEL RESTO Ya hemos visto al hacer la división: ( x x ) : ( x - 3 ), que el resto es 58 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(3)= = – 5 = 58 Ya hemos visto al hacer la división: ( x x ) : ( x + 5 ), que el resto es – 30 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(-5)= (-5) (-5) = – 5 = - 30 Ya hemos visto al hacer la división: ( 4.x x - 3 ) : ( x + 2 ), que el resto es – 45 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(-2)= 4.(-2) (-2) - 3 = - 32 – 10 – 3 = - 45

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B5 EJEMPLOS DEL TEOREMA DEL FACTOR Sea P(x) = x x x - 6 Aplicando el Teorema del Resto: P(2) = – 6 = – 10 – 6 = 0  x = 2 es una raíz. P(x)=(x – 2).Q(x) Realizando la división: P(x) = (x – 2).(x x + 3) Sea P(x) = x 3 + x x + 4 Aplicando el Teorema del Resto: P(-1) = (-1) 3 + (-1) (-1) + 4 = – = 0  x = -1 es una raíz. P(x)=(x – (– 1)).Q(x) = (x + 1).Q(x) Realizando la división: P(x) = (x +1).(x 2 + x – 6) Sea P(x) = x x x - 1 Aplicando el Teorema del Resto: P(1) = = = 0  x = 1 es una raíz P(x)=(x – 1).Q(x) Realizando la división: P(x) = (x – 1).(x 2 – 2.x + 1)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B6 TEMA 2.6 * 4º ESO Opc B RAÍZ DE UN POLINOMIO

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B7 RAÍCES DE UN POLINOMIO RAÍCES o ceros de un polinomio son todos los valores de x que al ser sustituidos el valor numérico del polinomio es cero. Cumplen la ecuación: P(x)=0 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA Si un polinomio es de grado n, tendrá como máximo n raíces reales. Si un polinomio es de grado impar tendrá obligatoriamente una raíz real. Si es de grado par tendrá 0, 2, 4, … raíces reales. RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO Las raíces enteras de un polinomio, si existen se encuentran entre los divisores del término independiente.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B8 Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente. Sea P(x) = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d Donde a, b, c y d son números enteros. Se debe cumplir, si r es una raíz de P(x): a.r 3 + b.r 2 + c.r + d = 0 r.(a.r 2 + b.r + c) = - d Vemos que r es un factor de – d O sea, que r es un divisor entero de d. Para hallar las raíces de un polinomio de grado igual o superior a 3, o sea las soluciones de la ecuación P(x)=0, lo primero será comprobar las posibles soluciones enteras o divisores enteros del término independiente. Si el polinomio P(x) no presenta término independiente, x=0 será una raíz o solución de la ecuación P(x) = 0 Demostración

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B9 EJEMPLO_1 Sea P(x) = x x x - 6 Tenemos que resolver la ecuación: x x x - 6 = 0 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6}, o sea los divisores de 6. Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto: P(1) = – 6 = – 5 – 6 = - 8 <> 0  No es raíz x =1 P(-1) = (-1) (-1) (-1) – 6 = – 6 = 0  x = -1 es una raíz. P(2) = – 6 = – 10 – 6 = 0  x = 2 es otra raíz. P(-2) = (-2) (-2) (-2) – 6 = – 6 = 4 <> 0  No es raíz x = - 2 P(3) = – 6 = – 15 – 6 = 24 <> 0  No es raíz x = 3 P(-3) = (-3) (-3) (-3) – 6 = – 6 = 0  x = -3 es otra raíz Las soluciones o raíces son: x = -1, x = 2 y x = -3

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B10 EJEMPLO_2 Sea P(x) = x 3 + x x + 4 Tenemos que resolver la ecuación: x 3 + x x + 4 = 0 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1, 2, -2, 4, - 4}, o sea los divisores de 4. Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto: P(1) = = = 10 <> 0  No es raíz x = 1 P(-1) = (-1) 3 + (-1) (-1) + 4 = – = 0  x = -1 es una raíz. P(2) = = = 24 <> 0  No es raíz x = 2 P(-2) = (-2) 3 + (-2) (-2) + 4 = – = - 8 <> 0  No es raíz x = - 2 P(4) = = = 100 <> 0  No es raíz x = 4 P(-4) = (-4) 3 + (-4) (-4) + 4 = – = - 60 <>0  No es raíz x = - 4 La única raíz entera es x = -1

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B11 EJEMPLO_3 Sea P(x) = x x x - 1 Tenemos que resolver la ecuación: x x x - 1 = 0 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1}, o sea los divisores de 1. Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto: P(1) = = = 0  x = 1 es una raíz P(-1) = (-1) (-1) (-1) - 1 = = - 2 <> 0  No es una raíz x = -1 ¿Y las otras 2 raíces, puesto que puede haber hasta tres?. ¿Son fraccionarias, no enteras?. ¿O no son reales?. Pues en este caso resulta que las otras dos raíces también son enteras, pero al ser del mismo valor que la hallada, no nos hemos apercibido. Para evitar que, al repetirse dos o más veces una raíz, las omitamos cometiendo un error, emplearemos el método escalonado de Ruffini.