Tema I Sistemas de ecuaciones MATEMÁTICAS II Tema I Sistemas de ecuaciones @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas equivalentes. Método de Gauss. Discusión de sistemas por el método de Gauss. Sistemas de ecuaciones lineales con parámetros. Método de Gauss-Jordan. Resolución simultánea de sistemas de ecuaciones lineales. Eliminación de parámetros. Resolución de problemas mediante sistemas lineales. EJERCICIOS DEL LIBRO PROBLEMAS DEL LIBRO @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. REPASO PREVIO TEMA 1.0 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

SISTEMAS DE ECUACIONES Sistema de ecuaciones es el conjunto de dos o más ecuaciones. Resolver un sistema es hallar los valores de las incógnitas que cumplen con todas y cada una de las ecuaciones Decimos que una ecuación es lineal cuando el exponente de todas las incógnitas es la unidad. Un sistema de ecuaciones lineales es aquel en que todas sus ecuaciones son lineales. Si un sistema tiene una o más soluciones se llama COMPATIBLE; de lo contrario es INCOMPATIBLE. Si tiene una única solución el sistema de ecuaciones lineales es DETERMINADO; y si tiene infinitas soluciones es INDETERMINADO. Si multiplicamos a una ecuación por un número, la ecuación resultante es equivalente a la primera. Si en un sistema a una ecuación la sumamos o restamos otra multiplicada por un número, el nuevo sistema resultante es EQUIVALENTE al primero, o sea tiene la misma solución. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Método de SUSTITUCIÓN Se puede emplear casi siempre. Se despeja una incógnita cualquiera en una ecuación cualquiera, y se sustituye la expresión resultante en la otra ecuación. Ejemplo_1 Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) ; 3x - y = 2 (2) De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : x= 4 – 3y Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) : 3 (4 – 3y) – y = 2 Operando … 12 – 9y – y = 2 , 12 – 2 = 9y + y , 10 = 10 y , y = 1 Llevando ese valor a la ecuación ( 1 bis), tenemos … x = 4 – 3.y = 4 – 3.1 = 4 – 3 = 1 , o sea x = 1 Comprobación: 1 + 3.1 = 4  4 = 4 , 3.1 – 1 = 2  2 = 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Método de SUSTITUCIÓN Ejemplo_2 Sea el sistema: 2x + 3y = 12 (1) ; 3x - 4y = 1 (2) De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : x= (12 – 3y) / 2 = 12/2 - 3/2 y = 6 – 1,5 y Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) : 3 (6 – 1,5y) – 4y = 1 Operando … 18 – 4,5y – 4y = 1 , 18 – 1 = 4,5y + 4y , 17 = 8,5 y , y = 2 Llevando ese valor a la ecuación ( 1 bis), tenemos … x = 6 – 1,5y = 6 – 1,5.2 = 6 – 3 = 3 , o sea x = 3 Comprobación: 2.3+ 3.2 = 12  12 = 4 , 3.3 – 4.2 = 1  1 = 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Método de SUSTITUCIÓN Ejemplo_3 Sea el sistema: x + 3y = - 8 (1) ; 3x - 4y = 15 (2) De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : x= - 8 – 3y Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) : 3 (- 8 – 3y) – 4y = 15 Operando … - 24 – 9y – 4y = 15 , - 24 – 15 = 9y + 4y , - 39 = 13 y , y = - 3 Llevando ese valor a la ecuación ( 1 bis), tenemos … x = - 8 – 3y = - 8 – 3. (- 3) = - 8 + 9 = 1 , o sea x = 1 Comprobación: 1+ 3.(-3) = - 8  - 8 = - 8 , 3.1 – 4.(-3) = 15  15 = 15 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Método de IGUALACIÓN Este método se emplea cuando es muy fácil despejar una incógnita determinada en las dos ecuaciones. Ejemplo_1 Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) ; 3x - y = 2 (2) Despejamos “x” en ambas ecuaciones, quedando: x = 4 – 3y (1 bis) ,, x = ( 2 + y ) / 3 (2 bis) Como x = x , las dos expresiones resultantes deben ser iguales 4 – 3y = (2 +y) / 3 Operando en la proporción resultante … 12 – 9y = 2 + y , 12 – 2 = y + 9y , 10 = 10y , y = 1 Sustituyendo ese valor en la ecuación ( 1 bis): x = 4 – 3.1 = 4 – 3 = 1 , o sea x = 1 Las soluciones son las mismas que nos había dado al aplicar el M.de Sustitución. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Método de IGUALACIÓN Ejemplo_2 Sea el sistema: 2x + 3.y = 12 (1) ; 3x - 4y = 1 (2) Despejamos “x” en ambas ecuaciones, quedando: x = (12 – 3y) / 2 (1 bis) ,, x = ( 1 + 4y ) / 3 (2 bis) Como x = x , las dos expresiones resultantes deben ser iguales (12 – 3y) / 2= (1 +4y) / 3 Operando en la proporción resultante … 36 – 9y = 2 + 8y , 36 – 2 = 8y + 9y , 34 = 17y , y = 2 Sustituyendo ese valor en la ecuación ( 1 bis): x = (12 – 3.2) / 2 = 6 – 3 = 3 , o sea x = 3 Las soluciones son las mismas que nos había dado al aplicar el M.de Sustitución. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Método de IGUALACIÓN Ejemplo_3 Sea el sistema: x + 3.y = - 8 (1) ; 3x - 4y = 15 (2) Despejamos “x” en ambas ecuaciones, quedando: x = (- 8 – 3y) (1 bis) ,, x = ( 15 + 4y ) / 3 (2 bis) Como x = x , las dos expresiones resultantes deben ser iguales (- 8 – 3y) = (15 +4y) / 3 Operando en la proporción resultante … - 24 – 9y = 15 + 4y , - 24 – 15 = 4y + 9y , - 39 = 13y , y = - 3 Sustituyendo ese valor en la ecuación ( 1 bis): x = - 8 – 3.(- 3) = - 8 + 9 = 1 , o sea x = 1 Las soluciones son las mismas que nos había dado al aplicar el M.de Sustitución. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Método de REDUCCIÓN Se empleará cuando coincidan los coeficientes numéricos en una de las dos incógnitas. Si no coinciden, podemos hacerles coincidir multiplicando una o las dos ecuaciones por el factor o factores adecuados. Es a veces imprescindible en la resolución de sistemas de ecuaciones de segundo grado. Ejemplo_1 Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) ; 3x - y = 2 (2) Multiplicamos la ecuación (1) por 3, resultando otra EQUIVALENTE. 3x + 9y = 12 (3) 3x - y = 2 (2) A la ecuación (3) la quito la (2), quedando: (3x – 3x) + (9y – (-y)) = 12 – 2  10 y = 10  y = 1 Sustituyendo el valor de “y” en la ecuación (1) , tenemos: x + 3.1 = 4 , x = 4 – 3 , x = 1 Como se ve, la solución es la misma que por los otros Métodos. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Método de REDUCCIÓN Ejemplo_2 Sea el sistema: 2x + 3.y = 12 (1) 3x - 4y = 1 (2) Multiplicamos la ecuación (1) por 4 y la ecuación (2) por 3 , resultando otro sistema de ecuaciones EQUIVALENTES. 8x + 12y = 48 (3) 9x - 12y = 3 (4) A la ecuación (3) la sumo la (4), quedando: (8x + 9x) + (12y – 12y) = 48 + 3  17 x = 51  x = 3 Sustituyendo el valor de “x” en la ecuación (1) , tenemos: 2.3 + 3.y = 12 , 3y = 12 – 6 , 3y = 6 , y = 2 Como se ve, la solución es la misma que por los otros Métodos. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Método de REDUCCIÓN Ejemplo_3 Sea el sistema: x + 3.y = - 8 (1) 3x - 4y = 15 (2) Multiplicamos la ecuación (1) por 4 y la ecuación (2) por 3 , resultando otro sistema de ecuaciones EQUIVALENTES. 4x + 12y = - 32 (3) 9x - 12y = 45 (4) A la ecuación (3) la sumo la (4), quedando: (4x + 9x) + (12y – 12y) = - 32 + 45  13 x = 13  x = 1 Sustituyendo el valor de “x” en la ecuación (1) , tenemos: 1 + 3.y = - 8 , 3y = - 8 – 1 , 3y = - 9 , y = - 3 Como se ve, la solución es la misma que por los otros Métodos. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

M. de SUSTITUCIÓN con ecuaciones cuadráticas Sea el sistema: 2 2 x + y = 10 (1) ,, x + y = 4 (2) De la ecuación (2) se despeja la incógnita “x” : x= 4 – y Y se sustituye su expresión en la ecuación (1) : (4 – y) + y = 10 2 2 2 Operando … 16 – 8y + y + y = 10 , 2 y – 8y + 6 = 0 Resulta una ecuación de 2º grado, que resolviéndola … y = 3 , y = 1 1 2 Llevando ese valor a la ecuación ( 2 bis), tenemos … x = 4 – 3 = 1 , x = 4 – 1 = 3 , o sea x = 1 , x = 3 1 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

M. de IGUALACIÓN con ecuaciones cuadráticas Sea el sistema: 2 y - x = 8 (1) ,, x + y = 4 (2) De ambas ecuaciones se despeja la incógnita “x” : x = y - 8 (3) , x = 4 – y (4) Se igualan ambas expresiones : 2 2 y - 8 = 4 – y  y + y – 12 = 0 Resulta una ecuación de 2º grado, que resolviéndola … y = 3 , y = - 4 1 2 Llevando ese valor a la ecuación ( 4), tenemos … x = 4 – 3 = 1 , x = 4 – (- 4) = 8 , o sea x = 1 , x = 8 1 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

M. de REDUCCIÓN con ecuaciones cuadráticas Sea el sistema: 2 2 2 2 x + y - 2 x = 8 (1) ,, x + y - y = 7 (2) Restando: Ecuación (1) - Ecuación (2) , queda: 2 2 2 2 x + y - 2x - x - y + y = 8 - 7 , y – 2x = 1 (3) El nuevo sistema será la (1) con la (3) o la (2) con la (3) indistintamente. Lo que permite ahora aplicar el M. de Sustitución. De la ecuación (3) despejo “y”: y = 1 + 2x Y sustituyo en la (1) o en la (2), quedando: 2 2 2 2 2 x + ( 1+2x) - 2x = 8  x + 1 + 4x + 4x - 2x = 8  5x + 2x – 7 = 0 Resulta una ecuación de 2º grado, que resolveremos. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.