Ecuaciones con dos incógnitas

Presentación del tema: "Ecuaciones con dos incógnitas"— Transcripción de la presentación:

1 Ecuaciones con dos incógnitas
ESPAD III * Día 15 Ecuaciones con dos incógnitas

2 ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
Decimos que una ecuación es lineal ( o de primer grado ) cuando el exponente de todas las incógnitas es la unidad. Un sistema de ecuaciones lineales es aquel en que todas sus ecuaciones son lineales. Ejemplos: x – = – 4.y = 5 2.x – 3.y = 1 x – 2.z = – y La expresión general de una ecuación de primer grado con dos incógnitas es: a.x + b.y = c Donde a es el coeficiente de x, b es el coeficiente de y, y c es el término independiente. Las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas son pares de números que verifican la ecuación.

3 Ejemplo 1 Entre Ana y Juan han comprado 10 bolígrafos en una librería. ¿Cuántos bolígrafos ha comprado cada uno?. Sea x los bolígrafos que ha comprado Ana (x>0). Sea y los bolígrafos que ha comprado Juan (y>0). Podemos poner la ecuación: x + y = 10 Solución 1: x=1, y=9 Solución 2: x=2, y=8 Solución 3: x=3, y=7 ….. Solución 9: x=9, y=1 Como se ve las soluciones son pares de valores (x,y). En este caso sólo hay 9 soluciones al ser los valores de x e y números naturales. Si x e y no fueran números racionales habría infinitas soluciones.

4 Ejemplo 2 Entre Ana y Juan han comprado 100 caramelos. Ana los ha comprado de dos en dos y Juan de tres en tres. ¿Cuántos caramelos ha comprado cada uno?. Sea x las veces que Ana ha comprado caramelos (x>0). Sea y las veces que Juan ha comprado caramelos (y>0). Podemos poner la ecuación: 2.x + 3.y = 100 Despejamos una incógnita, la x por ejemplo: x = (100 – 3.y) / 2 Como x tiene que ser un número entero, (100 – 3.y) tiene que ser un número par, múltiplo de 2, y por tanto 3.y debe ser par: Soluciones 3.y = 6, 3.y = 12, 3.y = 18, 3.y = 24, etc. 2.x = 94, 2.x = 88, 2.x = 82, 2.x = 76, etc En este caso hay muchas soluciones.

5 Ejemplo 3 Entre Ana y Juan se quieren repartir una tarta de chocolate. ¿Qué porción de tarta corresponderá a cada uno?. Sea x la porción de tarta que coge Ana (x>0). Sea y la porción de tarta que coge Juan (x>0). Podemos poner la ecuación: x + y = 1 Despejamos una incógnita, la x por ejemplo: y = 1 – x Soluciones x = 1/2, x = 1/3, x = 1/4, x = 3/7, x = 21/52, etc. y = 1/2, x = 2/3, x = 3/4, x = 4/7, x = 31/52, etc. Vemos que hay infinitas soluciones, infinitas maneras de repartir una tarta entre dos personas.

6 Ejemplo 4 Gráfico La suma de dos números es 12.¿Cuáles son dichos números?. Sea x un número. Sea y el otro número. Podemos poner la ecuación: x + y = 12 Despejamos una incógnita, la y por ejemplo: y = 12 – x Soluciones x  … 12 y  … 0 Vemos que hay infinitas soluciones, tantas como puntos tiene la recta.

7 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Resolver un sistema es hallar los valores de las incógnitas que cumplen con todas y cada una de las ecuaciones. Sea el sistema x + y = 2 (1) x – y = 0 (2) Las soluciones de la ecuación (2) son todos los valores de x e y donde x = y. Hay infinitas soluciones para la ecuación (2). Pero se debe cumplir también que su suma valga 2, para que se cumpla la ecuación (1) Como se puede apreciar por su sencillez la única solución posible es x = 1 e y = 1, pues son los valores de las incógnitas que hacen posible que se cumplan las dos ecuaciones que forman el sistema.

8 Cuaderno: Ejercicios Comprobar que el punto x = 3, y = – 1 es solución de los siguientes sistemas: 1. x + y = 2 x – y = 0 2. x + 2y = 0 2x – y = 7 3. x + 3y = 6 3x – 2y = 7 4. 2x – 5y = 11 x – y = 4 5. x – 4 = y 6 – 3y = 3x

9 Método de Sustitución Si en una ecuación de un sistema se sustituye una incógnita por la expresión que se obtiene al despejarla de la otra ecuación, resulta otro sistema equivalente. Ejemplo_1 Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) 3.x - y = 2 (2) De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : x = 4 – 3.y Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) : 3.(4 – 3.y) – y = 2

10 Operando … 12 – 9.y – y = 2 12 – 2 = 9.y + y 10 = 10.y y = 1 Llevando ese valor a la ecuación (1), tenemos … x = 4 – 3.y = 4 – 3.1 = 4 – 3 = 1 O sea x = 1 La solución del sistema es x = 1, y = 1 No son dos soluciones, sino una única solución. Podemos comprobar que cumplen las dos ecuaciones: x + 3.y = 4 (1) 3.x - y = 2 (2)

11 Ejemplo_2 Sea el sistema: 2x + 3y = 12 (1) 3x - 4y = (2) De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : 2.x = 12 – 3.y x = (12 – 3.y ) / 2 x = 12 / y / 2 x = 6 – 1,5 y Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) : 3.(6 – 1,5y) – 4y = 1 Operando … 18 – 4,5.y – 4.y = 1 18 – 1 = 4,5.y + 4.y 17 = 8,5 .y y = 17 / 8,5 = 2

12 Llevando ese valor a la ecuación ( 1 ), tenemos …
x = 6 – 1,5.y x = 6 – 1,5.2 x = 6 – 3 = 3 , o sea x = 3 La solución del sistema es x = 3, y = 2 Comprobación: = 12  12 = 12 3.3 – 4.2 = 1  1 = 1

13 Ejemplo_3 Sea el sistema: x + 3.y = (1) 3.x – 4.y = (2) De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : x = - 8 – 3y Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) : 3 (- 8 – 3y) – 4y = 15 Operando … - 24 – 9.y – 4.y = 15 - 24 – 15 = 9.y + 4.y - 39 = 13.y y = - 39 / 13 y = - 3

14 Llevando ese valor a la ecuación (1), tenemos …
x = - 8 – 3.y x = - 8 – 3. (- 3) x = = 1 , o sea x = 1 La solución del sistema es x = 1 , y = - 3 Comprobación: (-3) = - 8  - 8 = - 8 3.1 – 4.(-3) = 15  15 = 15