CÁLCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO DÍA 40 * 1º BAD CT

Indeterminada [oo/oo] Sabemos que oo / k = oo siempre. Sabemos que k / oo = 0 siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente oo / oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo / oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se divide numerador y denominador entre la potencia de x elevada al mayor de los exponentes que presente dicha variable. N(x) / xm Lím f(x) = Lím -------------- xa xa D(x) / xm Donde m es el mayor de los grados de los polinomios N(x) y D(x)

Ejemplo 1 2.x3 - 3x + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = --------------------- = [-----] xoo x3 – x2 - 5 oo3 – oo2 – 5 oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x3 ) 2 - (3/x2)+ (1/x3) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = -------------------------- = ------------- = 2/1 = 2 xoo 1 – (1/x) – (5/x3) 1 – (1/oo) – (5/oo) 1 – 0 - 0

Ejemplo 2 2.x3 - 3x + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = ------------------------ = [-------] xoo 5 - x2 5 - oo2 - oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x3 ) 2 - (3 / x2) + (1 / x3) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑--------------------- = -------------------------- = -------------- = xoo (5 / x3 ) - (1 / x) (5/oo) - (1/oo) 0 – 0 = 2 / 0 = oo  Vemos que NO existe límite en el infinito.

Ejemplo 3 2.x2 + 1 2.oo2 + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑---------- = ------------------------ = [-------] xoo 5 - 4.x3 5 – 4.oo3 - oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x3 ) 2/x + (1 / x3) (2/oo) + (1/oo) 0 + 0 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑---------------- = ----------------------- = ---------- = ---- = 0 xoo (5 / x3 ) - 4 (5/oo) - 4 0 – 4 – 4 Vemos que existe límite en el infinito y vale 0.

ASÍNTOTAS

ASÍNTOTAS ASÍNTOTAS VERTICALES La recta x = a es una asíntota vertical de la función f si: Lím f(x) = ± oo x a Pueden ser asíntotas verticales todas las rectas x=a, donde “a” no forma parte del dominio de las funciones racionales. EJEMPLO_1 Sea la función f(x) = 3 / (x – 2) En x = 2 la función no existe. Lím f(x) = Lím ( 3 / (x – 2) = 3 / (2-2) = 3 / 0 = oo x 2 x  2 x = 2 es una Asíntota Vertical.

ASÍNTOTAS HORIZONTALES La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si: Lím f(x) = b x ± oo En la práctica si una función presenta asíntotas verticales y asíntotas horizontales, podemos descartar en la mayoría de los casos que presente asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función f(x) = 1 / x Lím f(x) = Lím 1 / x = 1 / oo = 0 x oo La recta y = 0 es una Asíntota Horizontal. La función f(x) = k / (x – m) , para cualquier valor real de k y de m, tendría un comportamiento similar a la del ejemplo cuando x  ± oo

ASÍNTOTAS OBLICUAS La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función f si: f(x) Lím ------ = m y Lím [ f(x) – m.x ] = n x ± oo x x± oo En la práctica, siempre que una función racional no presente asíntotas horizontales debemos suponer que existen asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función: f(x) = (x2 – 3) / x f(x) x2 – 3 x2 3 m = Lím ------ = Lím -------- = Lím ----- – ---- = 1 – 0 = 1 x oo x x oo x2 x oo x2 x2 n = Lím [ f(x) – m.x ] = Lím [(x2 – 3) / x - x = Lím [- 3 / x2 ] = 0 xoo xoo La recta y = 1.x + 0  y = x es una asíntota oblicua.

OTRA FORMA DE HALLAR ASÍNTOTAS OBLICUAS Se efectúa la división de polinomios indicada en la función: f(x) = D(x)/d(x) Quedando: f(x) = c(x) + r(x)/d(x) El cociente c(x) resultante es la asíntota oblicua: y = c(x) Ejemplo_2 Sea la función: f(x) = (x2 + 3) / x x2 + 3 3 -------- = x + ----- ; y = x es la asíntota oblicua ; 3 es el resto x x Ejemplo_3 Sea la función: f(x) = (x2 – 5.x + 3) / (x – 1) x2 – 5.x + 3 - 1 ---------------- = x – 4 + -------- ; y = x – 4 es la asíntota oblicua ; - 1 es el resto x – 1 x – 1

Gráfica Ejemplo_1 Y x2 – 3 f(x) = -------- x Límite por la derecha de 0: x2 – 3 – 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x0+ x +0 pues x vale algo más de 0. Límite por la izquierda de 0: lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x0- x - 0 0 3 x

Gráfica Ejemplo_2 Y x2 + 3 f(x) = -------- x Límite por la derecha de 0: x2 + 3 +3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x0+ x +0 pues x vale algo más de 0. Límite por la izquierda de 0: x2 + 3 + 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x0- x - 0 Mín 0 3 x Max