INGENIERIA INDUSTRIAL Salvador cazares velazquez registro: 9310067 INGENIERIA INDUSTRIAL

ECUACIONES DIFERENCIALES CONCEPTOS BÁSICOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

INTRODUCCION Las ecuaciones diferenciales aparecen de manera natural en muchas áreas de las ciencias y de las humanidades. Algunos de las aplicaciones donde se presentan las E.D. son por ejemplo: en la detección de falsificaciones en artículos de arte, diagnóstico de diabetes, y diseminación de la gonorrea. Etc.

DEFINICIÓN. ECUCACIÓN DIFERENCIAL Llamamos ecuación diferencial a cualquier ecuación en la que aparecen relacionadas: una o varias variables independientes. una variable dependiente de ella o ellas. las derivadas de esta última con respecto a una o mas variables independientes.

EJEMPLOS dy + y²= x² dx dy + y = x dx ∂²u + ∂x² ∂²u = 0 ∂y²

QUÉ ES ORDEN? Se le llama orden de una ecuación diferencial al orden de la mayor derivada que aparece en la ecuación.

A QUE SE LE LLAMA GRADO? Se le llama grado de una ecuación diferencial al exponente, si es un número natural, al que está elevada la derivada de mayor orden que aparece en ella. Si esta derivada está elevada a un exponente no natural, no es posible definir el grado de la ecuación.

CLASIFICACIÓN de ecuaciones diferenciales Según el tipo se clasifican en: Ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.) Ecuaciones diferenciales parciales (E.D.P.)

E. D. O. Esta ecuación diferencial contiene derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Ejemplo: dy + dx dz = 0 dx dy + y = x² dx

E. D. P. ∂²u + ∂x² ∂²u + ∂y² ∂²u ∂z² = 0 Llamamos Ecuación Diferencial Parcial a aquella donde la función incógnita depende de varias variables independientes. Por tanto en una ecuación diferencial de este tipo aparecen las derivadas parciales de la función incógnita respecto de las variables independientes. Ejemplo: ∂²u + ∂x² ∂²u + ∂y² ∂²u ∂z² = 0

CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDEN Según el orden se clasifican en ecuaciones diferenciales de primer, segundo y tercer orden, etc., según sea la mayor derivada que aparezca en la expresión. Ejemplo: F (x, y, y´)=0 primer orden F (x, y, y´, y´´)=0 segundo orden F (x, y, y´, y´´,y´´´)=0 tercer orden n F (x, y, y…..y )=0 orden a la n

SEGÚN EL GRADO Según el grado se clasifican en lineales (E. D. L.) y no lineales (E. D. N. L.), siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en forma de Polinomio.

E. D. L Tiene dos características que las distinguen del resto: La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado. Los coeficientes de la variable y y de sus derivadas dependen solo de la variable independiente x o bien todas sus constantes.

Ejemplo de EDL: d³y +4 dx³ dy -y = x³ dx d²y + x dx²

E. D. N. L. Son aquellas que no cumplen con las propiedades lineales.

DEFINICIÓN DE SOLUCIÓN Solución de una E.D. es una función que no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad.

SOLUCION GENERAL SOLUCION PARTICULAR Llamamos solución general de una ecuación diferencial al conjunto de todas las funciones que verifican dicha ecuación. SOLUCION PARTICULAR La solución particular de una ecuación diferencial es la función cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Una ecuación de primer orden y de primer grado determina una sola pendiente en cada punto y por consiguiente, solamente pasa una curva por ese punto. Una ecuación de segundo grado determina en general dos pendientes y por consiguiente, pasan dos curvas por cada punto. El grado de una ecuación de primer orden indica así el número de curvas que pasan por un punto, aunque es posible que no sean todas distintas o reales.

TRAYECTORIAS ORTOGONALES Son las curvas que se intersecan formando ángulo recto. Si dos curvas son ortogonales en un punto, sus tangentes son perpendiculares en el punto de intersección. Ejemplo: x²+2bx +y² = 0

CAMPO DIRECCIONAL La terna (x,y,y’) determina la dirección de una recta que pasa por el punto(x,y). El conjunto de los segmentos de estas rectas es la representación geométrica del campo direccional. Ejemplo:

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones M. Braun Editorial Iberoamericana Métodos clásicos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias Juan Luis Varona Malumbres Universidad de la Rioja Editorial II Ecuaciones Diferenciales H. B. Phillips Editorial Hispano Americana Ignacio Acero/Mariló López Editorial Alfaomega Isabel Carmona Editorial Pearson