ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACION DIFERENCIAL Definición -Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas o diferenciales. - Si una ecuación contiene solo derivadas de una función de una variable, entonces se dice que es ordinaria. - Una ecuación diferencial parcial contiene derivadas parciales.

CONCEPTOS BASICOS ORDEN El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales).- Es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. Por ejemplo: d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex o dx2 dx Son ecuaciónes diferenciales de segundo orden.

GRADO El grado de una ecuación diferencial GRADO El grado de una ecuación diferencial.- Es la potencia a la que esta elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada en forma polinomial. CONCEPTOS BASICOS

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Para desarrollar sistemáticamente la teoría de Las ecuaciones diferenciales, es útil clasificar los diferentes tipos de ecuaciones. TIPOS: Ordinarias y parciales Ordinarias: Son las que contiene derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Parciales: Son las que contienen derivadas parciales de una o mas variables dependientes con respecto a dos mas variables independientes.

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Clasificación por orden Primer orden F( x, y, y’)=0 Segundo orden F( x, y’, y’’)=0 Tercer orden F( x, y’, y’’, y’’’)=0 …… ….... Orden n F( x, y’, y’’, y a ala n)=0

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Clasificación por grado Lineales: Cuando la variable dependiente Y y todas sus derivadas son de 1er cada coeficiente de Y y sus derivadas depende solamente de la variable independiente X (puede ser constante. No lineales: Son las que no cumplen las propiedades anteriores.

SOLUCIÓN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL - Solución: es una función que no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad. - Solución General: Es la función que contiene una o mas constantes arbitrarias (obtenidas de la sucesivas integraciones). Ejemplo: La función Y=3X²+C1X+C2 es solución general de la ecuación diferencial Y’’=6, porque: Y’=6X+C1 y Y’’=6 por lo tanto 6 = 6

SOLUCIÓN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL - Solución Particular: Es la función cuyas constantes arbitrarias toman un valor especifico. Ejemplo: La función Y=eˉx+8 es la solución particular de la ecuación diferencial Y’+eˉx=0, porque derivando la solución y sustituyéndola en la ecuación dada, obtenemos: Y’= eˉx -eˉx + eˉx = 0 por lo tanto 0 = 0

INTERPRETACION GEOMETRICA Geometricamente la solucion general representa una familia de curvas Asi : x² + y² = k² representa una familia de circunferencias

TRAYECTORIAS ORTOGONALES Es una familia de curvas cuyas pendientes son perpendiculares entre si. O de otra manera son las curvas que se intersectan formando angulo recto. Si una familia de curvas tiene la ecuacion F(X,Y,Y’)=0, la ecuacion diferencial de las trayectorias ortogonales a ella, es otra familia de la forma:F(X,Y – 1/Y’)=0 Para obtener las trayectorias ortogonales de una ecuacion diferencial, se toma:m1=dy/dx=f(x,y), y como m2= - 1/m1 , m2=dy/dx= - 1/f(x,y) de la trayectoria ortogonal a la primera ecuacion.

Teorema De Existencia Y Unicidad Dada una ecuacion diferencial Y’ = f(x,y) donde f(x,y) esta definida en una región rectangular R que contiene el punto (X0,Y0). Si f(x,y) satisface las condiciones: A) f(x,y) es continua en R. B) df/dy es continua en R. Existe un intervalo1 con centro en X0,Y0 existe una y solo una funcion y=g(x) definida en el intervalo1 que satisface la condicion inicial Y(X0)=Y0

EXISTENCIA Y UNICIDAD Condiciones para la existencia de soluciones: - Continuidad de f(X0,Y0) en R. - Acotamiento de f(X0,Y0) en R. Condiciones para la unicidad: - Continuidad de f(X0,Y0) y df/dy en R. - Acotamiento de f(X0,Y0) y df/dy en R.

FUENTES DE REFERENCIA http://html.rincondelvago.com/ecuacion-diferencial_1.html Ecuaciones diferenciales. Autor:Isabel Carmona Jover. Editorial:Pearson.