FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA DÍA 26 * 1º BAD CS

La Función de Proporcionalidad Inversa Viene dada por f(x) = k / x A veces también viene en forma implícita como x.y = k La imagen es inversamente proporcional al valor que toma la variable. También son funciones de proporcionalidad inversa todas aquella funciones raciones de la forma f(x) = P(x) / Q(x) que tras efectuar la división de polinomios indicada quede de la forma: P(x) k f(x) = = b , siendo el punto C(a, b) el centro de la hipérbola. Q(x) x – a Si k es POSITIVA, la hipérbola se dibujará en el 1º y 3º Cuadrante. Si k es NEGATIVA, la hipérbola se dibujará en el 2º y 4º Cuadrante.

Ejemplo_1 f (x) = 4 / x x y x y Ejemplo_2 f (x) = - 4 / x

TRASLACIÓN DE HIPÉRBOLAS ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA La fórmula o ecuación de una hipérbola es: k y = --- x TRASLACIÓN VERTICAL DE LA HIPÉRBOLA Si la hipérbola se traslada verticalmente r unidades, su ecuación es: k y = b x Si b es positiva, b >0, la traslación es hacia arriba. Si b es negativa, b <0, la traslación es hacia abajo.

TRASLACIÓN HORIZONTAL DE LA HIPÉRBOLA Si la hipérbola se traslada horizontalmente s unidades, su ecuación es: k y = x - a Si a es positiva, a >0, la traslación es hacia la izquierda. Si a es negativa, a <0, la traslación es hacia la derecha. TRASLACIÓN HORIZONTAL Y VERTICAL DE LA HIPÉRBOLA Si la hipérbola se traslada verticalmente r unidades y horizontalmente s unidades, su ecuación es: k y = b x - a

Ejemplo_1 Sea f(x) = 4 /( x + 2) Partimos de la función: f(x) = 4 / x Al convertirse x en x+2 se ha producido un desplazamiento horizontal de y=4/x de 2 unidades a la izquierda. Vemos que la asíntota vertical es ahora x=-2 Pues a=-2 El centro es (- 2, 0) x y (-2, 0)

Ejemplo_2 4 – 2.x Sea f(x) = x O sea: 4 f(x) = – x Partimos de la función: f(x) = 4 / x A todos los valores de x se les resta 2 unidades (b=-2) Hay un desplazamiento vertical de la gráfica original hacia abajo. Vemos que la asíntota horizontal es ahora y=-2 El centro es (- 2, 0) y x (0, -2)

Ejemplo 3 Representar la función: 8.x - 4 f(x) = x + 4 Se divide todo entre 2 4.x – 2 f(x)= x + 2 Se efectúa la división, quedando: - 10 f(x) = x + 2 Se representa y = - 10 / x El centro es (- 2, 4) y x (-2, 4)

y Representar la función: x f(x) = x + 2 Se efectúa la división, quedando: - 2 f(x) = x + 2 Se representa y = - 2 / x El centro debe pasar del (0,0) al punto (- 2, 4), pues ha habido una traslación oblicua con a=2 y b=1 Ejemplo 4

OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA Si la hipérbola está trasladada verticalmente b unidades y horizontalmente a unidades, su ecuación es: k y = b x – a El centro de la hipérbola, que es el corte de las asíntotas, ya hemos visto que es: Centro=(a, b) El valor de k es el área del rectángulo formado por un punto cualquiera de la hipérbola y el punto de corte de las asíntotas (centro de la hipérbola).

x y La ecuación a buscar es: k y = b x – a Vemos, por el dibujo, que el centro es el punto C(2, - 1) La fórmula será: k y = – 1 x – 2 Tomemos un punto de la hipérbola (-2, 0) y el centro de la hipérbola (2, - 1). El área del rectángulo que forman ambos puntos es: k = 2.1 = 2, que es el dato que nos faltaba. Ejemplo_1 de obtención de la fórmula

x y La ecuación a buscar es: k y = b x – a Vemos, por el dibujo, que el centro es el punto C(-2, 1) La fórmula será: k y = x + 2 Tomemos un punto de la hipérbola (0, 2) y el centro de la hipérbola (-2, 1). El área del rectángulo que forman ambos puntos es: k = 2.1 = 2, que es el dato que nos faltaba. Ejemplo_2 de obtención de la fórmula