UNIVERSIDAD ESTATAL DEL VALLE DE ECATEPEC POR: TORRES MIRANDA CORINA THALIA

ECUACIONES CUADRATICAS 1.- ¿Qué es una ecuación? 2.- ¿Qué es una ecuación cuadrática? 3.- soluciones de una ecuación cuadrática 4.- tipos de soluciones 5.- Ejemplos

¿Qué es una ecuación? Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación.

Ejemplo de una ecuación La ecuación: 3X - 8 = 10 sólo se cumple para X = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que X = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, X = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)

¿Qué es una ecuación cuadrática? Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.

Soluciones de una ecuacion cuadrática El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada. Dicho procedimiento no será cubierto en este documento. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada fórmula resolvente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo + y otra con el signo - antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a,b y c y sustituir sus valores en la fórmula resolvente.

Es de hacer notar que, utilizar la fórmula resolvente es un procedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un número, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual.

Estas dificultades hacen que el estudiante inexperto se equivoque constantemente en la solución. Existen procedimientos particulares, sólo aplicables a ciertos casos, en los cuales se pueden hallar las raíces de forma mas fácil y rápida. Tienen que ver con las técnicas de factorización.

Tipos de soluciones: Reales e imaginarias Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también llamadas raíces, a saber: Dos raíces reales distintas Una raíz real (o dos raíces iguales) Dos raíces imaginarias distintas

El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante D como: D = b2 - 4.a.c Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada es un número real y se generan dos raíces reales distintas

Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo número. Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose dos raíces imaginarias o complejas

ejemplos Factorización Simple: Completando el Cuadrado: Fórmula Cuadrática:

FACTORIZACIÒN SIMPLE La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.  

x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8   (x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x2]   ( x +   )   (x  -   ) = 0 (x + 4 ) (x – 2) = 0                                4 y –2     4 + -2 = 2                                                                    4 · -2 = -8         x + 4 = 0       x – 2 = 0       x + 4 = 0      x – 2 = 0 x = 0 – 4      x = 0 + 2 x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.

COMPLETANDO EL CUADRO En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.  Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: 4x2 + 12x – 8  = 0  4        4      4      4   x2 + 3x – 2 = 0   Ahora,  a= 1.  

x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1 x2 + 2x – 8 = 0           [Ya está en su forma donde a = 1.] x2 + 2x = 8                 [ Pasar a c al lado opuesto.] x2 + 2x + ___ = 8 + ___   [Colocar los blancos]       x2  + 2x + 1    = 8 + 1 x2  + 2x + 1 = 9 (       )  (      )  = 9      Hay que factorizar.                                  Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.      

( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) = ±    x + 1 =  ± 3 x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.] x = -1 + 3       x = -1 – 3 x = 2               x = -4

x + 1 =  ± 3 x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.] x = -1 + 3       x = -1 – 3 x = 2               x = -4

FÒRMULA CUADRATICA Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:    

X2 + 2x – 8 = 0      a = 1, b = 2, c = -8 x = -2 ± 6           2 X =  -2 + 6     x = -2 - 6            2                  2      x = 4          x = -8         2                  2 x = 2      x = - 4

FIN