Apuntes Matemáticas 1º ESO Tema 15 * 1º ESO Perímetros y áreas @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO
Apuntes Matemáticas 1º ESO Tema 15.1 * 1º ESO Teorema de Pitágoras @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO
Apuntes Matemáticas 1º ESO Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2 Los triángulos sagrados de los agrimensores egipcios ya empleaban los triángulos de lados 3,4 y 5 y de 5,12 y 13 nudos para hallar ángulos rectos. Tres números enteros que verifiquen el Teorema de Pitágoras se dice que forman una terna pitagórica. a c b @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO
Calculo de la hipotenusa En un triángulo rectángulo, los catetos miden 3 y 4 cm. Hallar la hipotenusa. Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 a2 = 32 + 42 a2 = 9 + 16 a2 = 25 Hipotensa a = √25 = 5 cm En un triángulo rectángulo, los catetos miden 5 y 12 cm. Hallar la hipotenusa. a2 = 52 + 122 a2 = 25 + 144 a2 = 160 Hipotensa a = √169 = 13 cm a c b @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO
Calculo de la hipotenusa En un triángulo rectángulo, los catetos miden 8 y 15 cm. Hallar la hipotenusa. Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 a2 = 82 + 152 a2 = 64 + 225 a2 = 278 Hipotensa a = √289 = 17 cm En un triángulo rectángulo, los catetos miden 7 y 24 cm. Hallar la hipotenusa. a2 = 72 + 242 a2 = 49 + 576 a2 = 625 Hipotensa a = √625= 25 cm a c b @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO
Apuntes Matemáticas 1º ESO Calculo de los catetos En un triángulo rectángulo un cateto mide 8 cm y la hipotenusa mide 10 cm. Hallar el otro cateto. Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 De donde: c2 = a2 – b2 c2 = 102 – 82 c2 = 100 – 64 c2 = 36 Cateto c = √36 = 6 cm En un triángulo rectángulo un cateto mide 21 cm y la hipotenusa mide 29 cm. Hallar el otro cateto. c2 = 292 – 212 c2 = 841 – 441 c2 = 400 Cateto c = √400 = 20 cm a c b @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO
Apuntes Matemáticas 1º ESO Calculo de los catetos En un triángulo rectángulo un cateto mide 9 cm y la hipotenusa mide 41 cm. Hallar el otro cateto. Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 De donde: c2 = a2 – b2 c2 = 412 – 92 c2 = 1681 – 81 c2 = 1600 Cateto c = √1600 = 40 cm En un triángulo rectángulo un cateto mide 35 cm y la hipotenusa mide 37 cm. Hallar el otro cateto. c2 = 372 – 352 c2 = 1369 – 1225 c2 = 144 Cateto c = √144 = 12 cm a c b @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO
Reconocimiento de triángulos Sea un triángulo de lados a, b y c, donde a es el lado mayor. Si a2 = b2 + c2 El triángulo es RECTÁNGULO. Tiene un ángulo recto (90º) opuesto al lado a. Si a2 < b2 + c2 El triángulo es ACUTÁNGULO. Los tres ángulos son menores de 90º. Si a2 > b2 + c2 El triángulo es OBTUSÁNGULO. Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º, el opuesto al lado a. a a a c c c A<90º A=90º A>90º b b b @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO
Apuntes Matemáticas 1º ESO Ejercicios 1.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 7, 5 y 10 cm respectivamente?. Resolución El mayor, 10, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. Como a2 = b2 + c2 102 = 72 + 52 100 = 49 + 25 100 = 74 100 > 74 Como 100 > 74 es un triángulo obtusángulo. 2.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 60, 11 y 61 cm respectivamente?. El mayor, 61, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. Como a2 = b2 + c2 612 = 602 + 112 3721 = 3600 + 121 Efectivamente 3721 = 3721, luego es un triángulo rectángulo. 3.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 10, 11 y 12 cm respectivamente?. El mayor, 12, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. Como a2 = b2 + c2 122 = 112 + 102 144 = 121 + 100 144 = 221 144 < 121 Como 144 < 121 es un triángulo acutángulo. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO
Problemas de Pitágoras Ejemplo_1 Al construir un marco para una ventana rectangular, un carpintero mide el largo y la diagonal, que le dan 8 dm y 10 dm respectivamente. ¿Qué tiene que medir el alto para que el marco esté bien hecho?. Como la ventana ha de ser un rectángulo, se debe cumplir el Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 102 = 82 + h2 h2 = 100 – 64 h2 = 36 h = 6 dm debe medir. La otra solución de la ecuación, h = - 6 cm Es imposible porque sólo hay longitudes positivas. 10 cm h 8 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO
Problemas de Pitágoras Ejemplo_2 Una escalera mide 13 m de larga. La colocamos inclinada sobre una pared, de modo su base está separada 5 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera en estas condiciones?. Como pared y el suelo forman un ángulo de 90º, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 132 = 52 + h2 169 = 25 + h2 h2 = 169 – 25 = 144 h = √144 = 12 m alcanza la escalera. La otra solución, - 12 m , no vale. 13 m h 5 m @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO