DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD DÍA 42 * 1º BAD CT

DERIVADA Y CONTINUIDAD Si una función y=f(x) no es continua en un punto, xo, entonces la función no es derivable en dicho punto. Si una función y = f(x) es continua en un punto xo, y existe la derivada f ’ (x) en los intervalos (a, xo) (xo, b), la función será derivable en xo si: 1.- Existe la función derivada f ‘ (x) por la izquierda. Lím f ‘ (x) = f ‘ (xo-) xxo- 2.- Existe la función derivada f ‘ (x) por la derecha. Lím f ‘ (x) = f ‘ (xo+) xxo+ 3.- Ambos límites laterales coinciden. f ‘ (xo-) = f ‘ (xo+) = f ‘ (xo)

EJEMPLO_1 x – 4 , si x < 2  Función lineal Sea f(x) = - 2 , si x ≥ 2  Función constante La función es continua en x = 2. Estudiar su derivabilidad. En x = 2 1.- lím f ‘ (x) = 1 x2- 2.- lím f ‘ (x) = 0 x2+ 3.- Vemos que las derivadas laterales no coinciden. La función es continua en x = 2. Pero no es derivable en x=2. En x=2 la función presenta un punto anguloso.

EJEMPLO_2 x2 – 9 , si x ≤ 3  Función cuadrática Sea f(x) = x - 3 , si x > 3  Función lineal La función es continua en el punto x=3 En x=3 1.- Lím f ‘ (x) = Lím 2.x = 6 x3- x3- 2.- Lím f ‘ (x) = Lím 1 = 1 x3+ x3+ 3.- Las derivadas laterales no coinciden. La función en x=3 presenta continuidad, pero no es derivable en x=3.

EJEMPLO_3 – x2 + 2.x , si x ≤ 1  Función cuadrática Sea f(x) = (x – 1) 3 + 1 , si x > 1  Función cúbica La función es continua en x=1. En x=1 1.- Lím f ‘ (x) = Lím -2.x + 2 = - 2.1 + 2 = 0 x 1- x 1- 2.- Lím f ‘ (x) = Lím 3.(x – 1)2 . 1 = 3.0.1 = 0 x1+ x1+ 3.- Las derivadas laterales coinciden. Luego y ‘ (1) = 0 La función en x=1 además de continua es derivable.

EJEMPLO_4 x3 – 3.x , si x ≤ 3  Función cúbica Sea f(x) = 3.x – 9 , si x > 3  Función lineal Estudiar la derivabilidad en xo=3 1.- f (3) = 33 – 3.3 = 27 – 9 = 18 2.- Lím f (x) = Lím x3 – 3.x = 27 – 9 = 18 x 3- x 3- Lím f (x) = Lím 3x – 9 = 3.3 – 9 = 9 – 9 = 0 x3+ x3+ Los limites laterales no coinciden. La función no es continua en x=3. Luego, la función no puede ser derivable en x=3

EJEMPLO_5 x2 – m.x + 5 , si x ≤ 0  Función cuadrática Sea f(x) = – x 3 + n , si x > 0  Función cúbica Calcula m y n para que sea derivable en R. A la izquierda de x=0 la función derivada es y ‘ = 2.x – m A la derecha de x=0 la función derivada es y ‘ = – 3.x2 En xo=0 1.- f (0) = 02 – m.0 + 5 = 5 2.- Lím f (x) = Lím 02 – m.0 + 5 = 5 x 0- x 0- Lím f (x) = Lím – 03 + n = n x0+ x0+ Si n= 5 los limites laterales coinciden y la función es continua en x=0. Si n<> 5 los limites laterales no coinciden, la función no es continua en x=0 y por tanto no puede ser derivable en x=0

x2 – m.x + 5 , si x ≤ 0  Función cuadrática Sea f(x) = – x 3 + 5 , si x > 0  Función cúbica La función es continua en x=0 si n = 5 1.- Lím f ‘ (x) = Lím 2.x – m = 2.0 – m = – m x 0- x 0- 2.- Lím f ‘ (x) = Lím – 3.x2 + 0 = – 3.0 + 0 = 0 x0+ x0+ 3.- Las derivadas laterales sólo coincidirán si m=0 Luego si m=0 y n=5 la función es derivable en x=0 y por tanto en R. Si n=5 y m<>0 la función es continua en x=0 pero no derivable. Si n<>5 y m<>0 la función no es continua en x=0 y por tanto no puede ser derivable.