DÍA 50 * 1º BAD CT GRÁFICA DE FUNCIONES RACIONALES

ASÍNTOTAS ASÍNTOTAS Se llaman asíntotas o ramas infinitas de una función racional aquellas rectas con las que la función tiende a coincidir, aproximándose a ellas tanto como queramos, en el infinito. Asíntota vertical Asíntota horizontal Asíntota oblicua. 0 3 x Y1Y1

Max Mín

ASÍNTOTAS VERTICALES La recta x = a es una asíntota vertical de la función f si: Lím f(x) = ± oo x  a Pueden ser asíntotas verticales todas las rectas x=a, donde “a” no forma parte del dominio de las funciones racionales. EJEMPLO_1 Sea la función f(x) = 3 / (x – 2) En x = 2 la función no existe. Lím f(x) = Lím ( 3 / (x – 2) = 3 / (2-2) = 3 / 0 = oo x  2 x  2 x = 2 es una Asíntota Vertical.

ASÍNTOTAS HORIZONTALES La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si: Lím f(x) = b x  ± oo En la práctica si una función presenta asíntotas verticales y asíntotas horizontales, podemos descartar en la mayoría de los casos que presente asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función f(x) = 1 / x Lím f(x) = Lím 1 / x = 1 / oo = 0 x  oo La recta y = 0 es una Asíntota Horizontal. La función f(x) = k / (x – m), para cualquier valor real de k y de m, tendría un comportamiento similar a la del ejemplo cuando x  ± oo

ASÍNTOTAS OBLICUAS La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función f si: f(x) Lím = m y Lím [ f(x) – m.x ] = n x  ± oo x x  ± oo En la práctica, siempre que una función racional no presente asíntotas horizontales debemos suponer que existen asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función: f(x) = (x 2 – 3) / x f(x) x 2 – 3 x 2 3 m =Lím = Lím = Lím – ---- = 1 – 0 = 1 x  oo x x  oo x 2 x  oo x 2 x 2 n =Lím [ f(x) – m.x ] = Lím [(x 2 – 3) / x - x = Lím [- 3 / x 2 ] = 0 x  oo x  oo La recta y = 1.x + 0  y = x es una asíntota oblicua.

OTRA FORMA DE HALLAR ASÍNTOTAS OBLICUAS Se efectúa la división de polinomios indicada en la función: f(x) = D(x)/d(x) Quedando: f(x) = c(x) + r(x)/d(x) El cociente c(x) resultante es la asíntota oblicua: y = c(x) Ejemplo_1 Sea la función: f(x) = (x 2 – 3) / x x 2 – = x ; y = x es la asíntota oblicua ; - 3 es el resto x x Ejemplo_3 Sea la función: f(x) = (x 2 – 5.x + 3) / (x – 1) x 2 – 5.x = x – ; y = x – 4 es la asíntota oblicua ; - 1 es el resto x – 1 x – 1

Gráfica Ejemplo_1 x 2 – 3 f(x) = x Límite por la derecha de 0: x 2 – 3 – 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = - oo x  0 + x +0 pues x vale algo más de 0. Límite por la izquierda de 0: x 2 – 3 – 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = + oo x  0 - x x Y1Y1

Gráfica Ejemplo_2 x f(x) = x Límite por la derecha de 0: x lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = + oo x  0 + x +0 pues x vale algo más de 0. Límite por la izquierda de 0: x lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = - oo x  0 - x x Y Max Mín

A tener en cuenta Puntos importantes a tener en cuenta para representar funciones RACIONALES, y = P(x) / Q(x) 1.-Asíntotas verticales. 2.-Asíntotas horizontales. 3.-Asíntotas oblicuas. 4.-Máximos y mínimos relativos. Otros apartados auxiliares para conseguir una mayor precisión son: 5.-Cortes con los ejes. 6.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 7.-Puntos de inflexión. 8.-Intervalos de concavidad y convexidad. 9.-Simetría. 10.-Periodicidad. 11.-Tabla de Valores.

EJEMPLO 1

EJEMPLO_1 Representar la función: y = x / (3 – x) 1.-Asíntota vertical En x = 3 la función no existe. En x = 3 la función presenta una asíntota vertical. Calculamos sus límites laterales: x 3 Lím = = + oo x  – x 3 Lím = = – oo x  – 3 + – x y

EJEMPLO_1 Representar la función: y = x / (3 – x) 2.-Asíntota horizontal x oo y = Lím = = x  oo 3 – x oo Indeterminación Se divide todo entre x 1 1 Lím = = – 1 x  oo 3/x – 1 0 – 1 y= -1 es una asíntota horizontal. y

EJEMPLO_1 Representar la función: y = x / (3 – x) 3.-Asíntota oblicua La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función: f(x) x m = Lím = lím = x  oo x x  oo x (3 – x) m = Lím = = = 0 x  oo 3 – x 3 – oo - oo Al ser la pendiente m=0, la asíntota es horizontal (ya hallada). No hay asíntota oblicua. 0 3 x y

Ejemplo_1 Representar la función y = x / (3 – x) 4.-Puntos singulares Derivamos la función para hallar los puntos singulares: y ‘ = [ 1. (3 – x) – (-1). x ] / (3 – x) 2 y ‘ = [ 3 – x + x ] / (3 – x) 2 = 3 / (3 – x) 2 Igualamos a cero: y ‘ = 0  3 = 0  Imposible. No existen puntos singulares, ni máximo ni mínimo relativo. 5-Cortes con los ejes Con el eje OY: x=0  y = 0 / 3 = 0  Pc(0,0) Con el eje OX: y=0  0= x / (3 – x)  0 = x  Pc(0,0) 0 3 x y Pc(0,0)

Ejemplo 1: Representar la función y = x / (3 – x) 6.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Su derivada era y ‘ = 3 / ( 3 – x) 2 Al no haber puntos singulares, x = 3, que es la asíntota vertical, nos delimita los intervalos Los intervalos a estudiar son: (-oo, 3) y (3, oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ’ (0) = 3 / (3 – 0) 2 = 3 / 9 = 1 / 3 > 0  Creciente en (- oo, 3) f ’ ( 6) = 3 / (3 – 6) 2 = 3 / 9 = 1/ 3 > 0  Creciente en (3, + oo)

Ejemplo 1: Representar la función y = x / (3 – x) 7.-Puntos de Inflexión: Su derivada era y ‘ = 3 / (3 – x) 2 Hallamos la segunda derivada: y ’’ = [ 0. (3 – x) 2 – 3. 2.(3 – x).( - 1)] / (3 – x) 4 y ’’ = [ 6.(3 – x)] / (3 – x) 4 = 6 / (3 – x) 3 Igualamos a cero: 6 / (3 – x) 3 = 0  6 = 0  Imposible. No existen puntos de inflexión. No procede comprobar que y’’’ <> 0

Ejemplo 1: Representar la función y = x / (3 – x) 8.-Intervalos de concavidad y convexidad: Su derivada era y ‘ = 3 / (3 – x) 2 Su segunda derivada era: y ’’ = 6 / (3 – x) 3 Como no hay Puntos de Inflexión, los límites de los intervalos vendrán dados por la asíntota vertical x = 3 Los intervalos a estudiar son: (- oo, 3) y (3, + oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ‘’ (0) = 6 / 3 3 > 0  Es Cóncava en (- oo, 3) f ‘’ (6) = 6 / (3 – 6) 3 = 6 / (- 3 3 ) < 0  Es Convexa en (3, + oo)

Gráfica de la función Ejemplo_1 Sea la función: y = x / (3 – x) Asíntota vertical: x = 3 Asíntota horizontal: y = - 1 Puntos de corte: Pc (0, 0), Máximo: No hay. Mínimo: No hay. Creciente en (- oo, 3) y en (3, +oo) Punto de Inflexión: No hay. Es çóncava en (- oo, 3) Es convexa en (3, + oo) No presenta simetrías. 0 3 x y Pc(0,0)

EJEMPLO 2

EJEMPLO_2 Representar la función: y = (x 2 + 3) / (4.x – x 2 ) 1.-Asíntotas verticales En x = 0 y x = 4 la función no existe al dar cero el numerador. x = 0 es una asíntota vertical. x = 4 es una asíntota vertical. Calculamos sus límites laterales: x Lím = = - oo x  x – x – 0 - x Lím = = + oo x  x – x – 0 + Pues en valores muy próximos a 0, 4x es mayor que x x y

Calculamos sus límites laterales: x Lím = = + oo x  x – x – 16 - x Lím = = - oo x  x – x – Asíntota horizontal x oo y =Lím = = Indet x  oo 4.x – x 2 – 00 Se divide todo entre x / x y = Lím = = – 1 x  oo 4 / x – 1 y= -1 es una asíntota horizontal. y

3.-Asíntota oblicua La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función: f (x) (x 2 + 3) m = Lím = lím = x  oo x x  oo x (4.x – x 2 ) x oo m = Lím = = Indet. x  oo 4.x 2 – x 3 - oo m = lím [ ] / [0 – 1] = 0 / (-1) = 0 x  oo Al ser la pendiente m=0, la asíntota es horizontal (ya hallada). No hay asíntota oblicua. 0 4 x y

4.-Puntos singulares y = (x 2 + 3) / (4.x – x 2 ) Derivamos la función para hallar los puntos singulares: y ‘ = [ 2x. (4.x – x 2 ) – (x ).(4 – 2.x ] / (4.x – x 2 ) 2 y ‘ = [ 8.x 2 – 2.x 3 – 4.x x 3 – 6.x – 12 ] / (4.x – x 2 ) 2 y ‘ = ( 4.x 2 – 6.x – 12 ) / (4.x – x 2 ) 2 Igualamos a cero: y ‘ = 0  4.x 2 – 6.x – 12 = 0  2.x 2 – 3.x – 6 = 0 Resolvemos la ecuación: x = [ 3 +/- √ (9 + 48) ] / 4 = (3 +/- 7,55) / 4  x = 2,64 y x = - 1,16 son las abscisas de los puntos singulares. Calculamos sus ordenadas: f(2,64) = (2, ) / (4.2,64 – 2,64 2 ) = 9,97 / 3,59 = 2,77 f(-1,16) = ((-1,16) 2 + 3) / (4.(-1,16) – (-1,16) 2 ) = 4,34 / (-5,98) = -0,72 Los puntos son: (-1,16, -0,72) y (2,64, 2,77)

5-Cortes con los ejes y = (x 2 + 3) / (4.x – x 2 ) Con el eje OY: x=0  No puede haber al ser asíntota vertical. Con el eje OX: y=0  0 = (x 2 + 3) / (4.x – x 2 ) 0 = x  x 2 = – 3  No hay 0 4 x y

6.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento: y = (x 2 + 3) / (4.x – x 2 ) Su derivada era: y ‘ = ( 4.x 2 – 6.x – 12 ) / (4.x – x 2 ) 2 Los puntos singulares y las asíntotas verticales nos delimita los intervalos Los intervalos a estudiar son: (- oo, -1,16), (-1,16, 0), (0, 2,64), (2,64, 4) y (4, + oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ’ (-2) = ( 4.(-2) 2 – 6.(-2) – 12 ) / (4.(-2) – (-2) 2 ) 2 = 16/144 > 0  Creciente en (- oo, -1,16) f ’ (-1) = ( 4.(-1) 2 – 6.(-1) – 12 ) / (4.(-1) – (-1) 2 ) 2 = -2 / 25 <0  Decreciente en (-1,16, 0) f ’ (2) = ( – 6.2 – 12 ) / (4.2 – 2 2 ) 2 = - 8 /16 < 0  Decreciente en (0, 2,64) f ’ (3) = ( – 6.3 – 12 ) / (4.3 – 3 2 ) 2 = 6 / 9 > 0  Creciente en (2,64, + oo) f ’ (5) = ( – 6.5 – 12 ) / (4.5 – 5 2 ) 2 = 58 / 25 > 0  Creciente en (2,64, + oo)

0 4 x y Gráfica de la función Ejemplo_2 Mín Máx Punto de Inflexión

OTROS EJEMPLOS RESUMIDOS

Ejercicios Representar gráficamente las seis funciones cuyo dominio ya se ha calculado, hallando el recorrido o imagen de cada una. 1.f(x) = x /(x 2 + 1) Dom f(x) = R xy -3-0,3 -2-0,4 -1-0, ,5 20,4 30,3 Img f(x) = [Mín, Máx] = [- 0,5, 0,5] x y -1 -0,5 0,5 1 Img f(x)

x 2.-f(x) = (x + 1) / (x 2 – 1) Dom f(x) = R – {1, -1} xy -3-0, , ,5-0, , , ,5 4 0,33 Img f(x) = R – { 0 } y

3.-f(x) = (x 2 – 5.x) / (x – 5) Dom f(x) = R – {5} xy Img f(x) = R – { 5 } y