Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas TÓPICOS DE MÁTEMATICA MA112(EPE) UPC TEMA : TRANSFORMACIONES LINEALES

Objetivos: Definir el concepto de Transformación Lineal (T.L) Identificar las principales propiedades de las T.L. Describir el concepto de Núcleo de una Transformación Lineal.

Introducción: Las transformaciones lineales tienen una gran variedad de aplicaciones importantes, así tenemos: Las coordenadas en la pantalla del Display de un punto son función de las coordenadas (x,y,z) del punto en el mundo real y de las coordenadas (xo,yo,zo) del observador. Una empresa puede concebirse como un objeto que relaciona un conjunto de entradas (capital, productividad de los operarios,parámetros de operación , inventarios, etc) con un conjunto de salidas o resultados que son función de las entradas, entre ellas: producción de diferentes productos, ganancias, capital acumulado, etc.

Graficación por Computadora Con la graficación por computadora se dispone de recursos en el cual se desplaza la imagen de un diseño, hacia la derecha, la izquierda, girar la imagen para apreciar otro lado de ella, reducirla, ampliarla, etc. Este recurso que posee una computadora mediante un software se realiza a través de las transformaciones lineales.

Ejemplos de transformaciones lineales Reflexión respecto al eje Y. En R2 consideremos la aplicación f tal que f(x,y)=(-x,y). Es fácil probar que es una transformación lineal. (-x,y) (x,y)

(x,y,z) (x,y,0) 2. Operadores de proyección. La aplicación definida por: T(x,y,z)=(x,y,0) proyecta un vector de R3 a un vector que está en el plano XY z (x,y,z) y (x,y,0) x

TRANSFORMACIÓN LINEAL Sea T una aplicación de Rn en Rm ; T: Rn Rm T se llama Transformación Lineal si se cumple: T ( V1 + V2 ) = T( V1 ) + T ( V2 ) 1. T ( c V ) = c T( V ) , c: escalar 2. Observaciones: Una aplicación T de Rn en Rm es lineal si la imagen de toda combinación lineal en Rn es una combinación lineal en Rm.

Ejemplos: Probar si las siguientes aplicaciones son Transformaciones Lineales: T: R2 R2 , T(x,y) = (3x ; x-y ) T: R2 R2 , T(x,y) = (x+y ; y2)

Forma general de las transformaciones lineales T: R2 R2 ; T(x;y) = (a1x+a2y; b1x+b2y) T: R3 R2 ; T(x;y;z) = (a1x+a2y+a3z ; b1x+b2y+b3z) 3. T: R2 R3 ; T(x;y) = (a1x+a2y ; b1x+b2y ; c1x+c2y) T: R3 R3 , T(x;y;z) = (a1x+a2y+a3z ; b1x+b2y+b3z ; c1x+c2y+c3z)

1) 2) 3) PROPIEDADES DE LAS T.L. Ejemplo: T(0 ) = 0 R m R n 1) T(a V + b V ) = a T ( V ) + b T( V ) 2 1 2) T(a V + a V +... + a V ) = a T ( V ) + a T( V ) + 2 1 k + ... + a T ( V ) 3) La aplicación T(x;y)=(x-y ; y+x+2) NO es una Transformación Lineal , ya que: T(0;0)=(0;2) Ejemplo:

Ejemplo: Sea T: R2 ―> R2 una T.L. Si T( i ) = (2; 3) , T( j ) = (1; 4) Halle T(5; 6) Halle la regla general T(x,y) Respuesta: (16 ; 39) T(x;y)=(2x+y ; 3x+4y)

Ejercicio: Sea T: R2 ―> R2 una T.L. Si T( 1;2 ) = (2; 3) , T( 1;-1) = (1; 6) Halle T(3; 9) Halle la regla general T(x,y) Respuesta: (7 ; 6) T(x;y)=(4/3x+1/3y ; 5x-y)

( RESPECTO A LAS BASES CANÓNICAS ) REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL ( RESPECTO A LAS BASES CANÓNICAS ) TEOREMA: Toda T.L. de R a R se puede representar matricialmente como T( X ) = A m x n X de forma única. n m matriz estándar o canónica

T(x;y)=(2x+y ; 3x+4y) puede escribirse como Ejemplo: Observar que

A = ... Dada la transformación lineal T : Rn Rm T( e ) MATRIZ QUE REPRESENTA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL RESPECTO A LAS BASES CANÓNICAS Dada la transformación lineal T : Rn Rm A = ... T( e ) j Las columnas de A son las coordenadas de T( ej ) relativas a la base canónica Rm

Ker ( T ) = { v Rn / T( v ) = 0 } EL NÚCLEO o KERNEL DE UNA T.L. Rm T: Rn Rm Rm Rn Ker(T)

Ejemplo: Dada la transformación lineal: T:R2 R2 : T(x,y) = (x-2y, 4y-2x) determine el núcleo o kernel de T.