Transformaciones Geométricas

Presentación del tema: "Transformaciones Geométricas"— Transcripción de la presentación:

1 Transformaciones Geométricas
Graficación IA7200-T Transformaciones Geométricas

2 Transformaciones Geométricas
Producto Matricial Transformaciones Lineales Rotaciones Escalamiento Acizallamiento Translaciones Coordenadas Homogéneas Transformaciones Inversas Rotaciones Arbitrarias Cambio de Coordenadas Rotaciones 3D Graficación

3 Producto Matricial Graficación

4 Transformaciones Lineales
Una transformación T es un mapeo Una transformación es lineal si para todos v y w (vectores) y λ (real) Si T es lineal: Graficación

5 Transformaciones Lineales
En el espacio x-y, asociemos un punto P al vector V, tal que: T es un mapeo de puntos a puntos: Para todo punto P en x-y, donde: Graficación

6 Transformaciones Lineales
Las TLs pueden ser escritas como un producto de matrices. Por ejemplo Se puede escribir como el producto Graficación

7 Transformaciones Lineales
Ejemplo: Los renglones de T son las imágenes de (1,0) y (0,1) Graficación

8 Rotación Graficación

9 Escalamiento Sx=Sy=-1 Reflexión con respecto a O Sx=1, Sy=-1
Reflexión con respecto a X Sx=-1, Sy=1 Reflexión con respecto a Y Graficación

10 Acizallamiento Graficación

11 Translaciones ¿Cuál es la matriz T para translaciones?
T no es lineal (i.e. T(0) = (a,b)≠0) (a,b) se llama vector de desplazamiento (shift vector) Graficación

12 Coordenadas Homogéneas
Para combinar todas las transfomaciones vistas hasta aquí, añadimos una dimensión mas, W. La dimensión extra hace que P=(x,y) tenga toda una familia de representaciones coordenadas (wx, wy, w) w≠0. Por ejemplo, (3,6,1), (0.3,0.6,0.1), (6,12,2), (12,24,4), etc. Cuando un punto se mapea al plano W=1, se dice que está homogeneizado. Conversión: (x,y)  (x,y,1) (wx,wy,w)  (wx/w, wy/w) Graficación

13 Coordenadas Homogéneas
Graficación

14 Coordenadas Homogéneas
T en coordenadas homogéneas Translación Rotación Graficación

15 Ejercicios Dibuje un rectángulo unitario en un espacio R2
Genere una matriz T1 para una rotación de 15° Genere una matriz T2 para un escalamiento de 1.5 en x y 2 en y Genere una matriz T3 para un acizallamiento de 0.5 en la horizontal Combínelas, para formar una sola matriz T de transformación que además desplace el rectángulo por (1, 0.5) Aplique la matriz resultante al rectángulo Graficación

16 Ejercicios Ver Programa de Mathematica Graficación

17 Transformaciones Inversas
Si R mapea de P a P’, la inversa mapea de P’ a P. Ej. Rotación Inversa Se debe cumplir que Graficación

18 Transformaciones Inversas
Sin embargo, no todas las transformaciones son reversibles Ej. Una transformación que mapea de cualquier punto al eje x no lo es. La matriz no tiene inversa Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser diferente de cero Graficación

19 Transformaciones Inversas
La matriz de transformación del mapeo Graficación

20 Rotación en Torno a Cualquier Punto
No es lineal Puede ser descrita como un producto matricial (coordenadas homogéneas) La rotación en el punto C(Xc, Yc) en un ángulo φ se puede hacer en tres pasos: Translación al origen Rotación en el origen Translación de regreso Graficación

21 Rotación en Torno a Cualquier Punto
Graficación

22 Rotación en Torno a Cualquier Punto
Graficación

23 Rotación 3D en Torno a los Ejes
Graficación

24 Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario
Rotación en z -θ Rotación en y -φ Rotación en z α Rotación en y φ Rotación en z θ Graficación

25 Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario
Graficación

26 Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario
Si el punto de inicio no es el origen, sino un punto arbitrario A(a1,a2,a3) Translación de A a O La rotación R, descrita anteriormente Translación inversa de O a A Graficación

27 Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario
Graficación