LA CIRCUNFERENCIA SUS ELEMENTOS Y ÁNGULOS

Otros elementos de la circunferencia Flecha o sagita Q  P Recta secante Cuerda PQ Arco BQ A B  T  Punto de tangencia Recta tangente

PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. R L

02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes). P Q M N R

R r d = Cero ; d : distancia 01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro. R r d = Cero ; d : distancia

02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común. Distancia entre los centros (d) d > R + r

03. - CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia. Punto de tangencia R r R r Distancia entre los centros (d) d = R + r

04. - CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia. Punto de tangencia R r R d d = R - r d: Distancia entre los centros

R r ( R – r ) < d < ( R + r ) 05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones. R r Distancia entre los centros (d) ( R – r ) < d < ( R + r )

06. - CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección. R r Distancia entre los centros (d) d2 = R2 + r2

07.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes. d d < R - r d: Distancia entre los centros

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. A B R  P AP = PB

2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes B R r C D AB = CD

3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes. B R C D r AB  CD

TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio. a b c Inradio r a + b = c + 2r

TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales. d a b c Cuadrilátero circunscrito a + c = b + d

TEOREMA.- En todo cuadrilátero inscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de los ángulos opuestos son suplementarios Cuadrilátero inscrito m n   α + n = 180º  + m = 180º

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema Nº 01 2 B A C 5 Resolución Calcule el perímetro del triángulo ABC. 2 5 A B C Resolución

a b 2 (1) (2) RESOLUCIÓN B A C 5 (p) = 24 Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) (1) a + b = 14 (2) Luego el perímetro: (p) = a + b + 10 = 14 + 10 (p) = 24 Reemplazando (1) en (2) (p) = 14 + 10

Problema Nº 2 En un cuadrilátero PQRS mQ = mS = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR P Q R S PLANTEAMIENTO 3 2 Resolución

RESOLUCIÓN Dato: a a + b + c + d = 22cm b c d Teorema de Poncelet: Q R S 2 3 RESOLUCIÓN Dato: a + b + c + d = 22cm a b c d Teorema de Poncelet: PQR  a + b = PR+2(3) + PSR  c + d = PR+2(2) a +b + c + d = 2PR + 10 22 = 2PR + 10 PR = 6cm 12 = 2PR