Sea A = (a ij ) una matriz cuadrada de orden n. Llamaremos determinante de la matriz A y lo denotaremos por |A| o det A a DETERMINANTES S n es el conjunto de todas las permutaciones del conjunto {1, 2,..., n}, representa a una permutación cualquiera de este conjunto, es el n° de inversiones ( alteraciones del orden natural) de la permutación y 1 , 2 ,..., n son las imágenes de 1, 2,..., n por .
S3S3 1 1 = 1 1 2 = 2 1 3 = 3 2 1 = 1 2 2 = 3 2 3 = 2 3 1 = 3 3 2 = 2 2 3 = 1 4 1 = 2 4 2 = 1 4 3 = 3 5 1 = 2 5 2 = 3 5 3 = 1 6 1 = 3 6 2 = 1 6 3 = 2 1 ) = 0 2 ) = 1 3 ) = 3 4 ) = 1 5 ) = 2 6 ) = 2
REGLA DE SARRUS
Escribamos el determinante de la matriz A = (a ij ): Llamaremos a 1 a a n a las columnas de A a1a1 a2a2 anan Con lo que podemos escribir det A = det (a 1 a a n ) NOTACIÓN
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1.- det A = det A t 2.- det (a 1 a 2.. a j... a n ) = det (a 1 a 2.. a j... a n )
3.- det (a 1 a 2.. a j + b j... a n ) = det (a 1 a 2.. a j... a n ) + det(a 1 a 2.. b j... a n )
4.- det (a 1 a a k +... a n ) = det (a 1 a 2.. a k... a n )
5.- det (a 1 a 2... a i.... a k... a n ) = - det (a 1 a 2... a k.... a i... a n ) 6.- det (a 1 a 2... a k.... a k... a n ) = 0
7.- det (a 1 a 2... ma k.... na k... a n ) = El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal. 9.- Si A y B son dos matrices cuadradas de orden n: det A. B = det A. det B