La Distribución Binomial

La Distribución Binomial Un modelo matemático es una expresión matemática que se utiliza para representar una variable de interés. La distribución de probabilidad binomial es uno de los modelos matemáticas más útiles. La distribución binomial se utiliza cuando la variable aleatoria de interés es discreta y representa el número de éxitos en una muestra compuesta por n observaciones

La Distribución Binomial Es una función de distribución de probabilidad con muchas aplicaciones en la vida diaria. Las variables que se estudian son dicotómicas. Su suceso primario se identifica como un éxito. Posee cuatro propiedades esenciales:

La Distribución Binomial La muestra se compone de un número fijo de observaciones (n) o veces que se realiza el experimento aleatorio(E). Cada observación se puede clasificar en dos categorías: éxito o fracaso. Si la probabilidad de éxito es p (constante), la probabilidad de fracaso es 1-p (q). El resultado de un suceso es independiente del resultado de cualquier otro suceso.

Probabilidades dadas p Probabilidad de éxito 1-p Probabilidad de fracaso No confundir “p” minúscula con “P” mayúscula. La minúscula es la probabilidad que ya se conoce(probabilidad de éxito) y la mayúscula es la de ocurrencia que se quiere calcular.

Ejemplo Cuando los clientes hacen un pedido en la tienda Mayor,C.A., el sistema revisa si los datos están completos. Los pedidos incompletos se marcan y se les incluye en un reporte de excepciones. Según estudios anteriores, se ha determinado que la probabilidad de que un pedido se marque es de 0,10

Ejemplo Si la probabilidad de que un pedido esté marcado es de 0,10 P(marcado) = 0,10 P(no marcado) = 1- 0,10 = 0,90 Es la probabilidad de éxito Es la probabilidad de fracaso

La Distribución Binomial p = probabilidad de éxito 1-p = probabilidad de fracaso n = veces que se realiza E x = número de sucesos exitosos

Ejemplo En Mayor,C.A., los pedidos incompletos se marcan y se incluyen en un reporte de excepciones. Estudios anteriores han demostrado que la probabilidad de que un pedido sea marcado es de 0,10. De una muestra de 4 pedidos, calcular la probabilidad que 3 de ellos estén marcados.

Ejemplo Probabilidad de éxito: p = 0,10 Veces que se realiza E: n = 4 Probabilidad a calcular: P(x=3) = ?

La probabilidad de que 3 pedidos estén marcados es de 0,0036(0,36%) Ejemplo La probabilidad de que 3 pedidos estén marcados es de 0,0036(0,36%)

Desigualdades en la Distribución Binomial La desigualdad involucra la aplicación de la fórmula más de una vez en una sola solicitud. El espacio muestral con el que se trabajará está bien definido. El valor mínimo del espacio muestral es 0 (ninguno).

Ejemplo En Mayor,C.A.,los pedidos incompletos se marcan y se incluyen en un reporte de excepciones. Estudios anteriores han demostrado que la probabilidad de que un pedido sea marcado es de 0,10. De una muestra de 4 pedidos, calcular la probabilidad que 3 o más pedidos estén marcados.

Ejemplo Tenemos: p = 0,10 n = 4 Probabilidad a calcular: P(x ≥ 3) = P( x=3 ) + P( x = 4 ) = ?

Ejemplo Se calcula la probabilidad para x igual a 3 y para 4:

Ejemplo

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Ejemplo La probabilidad de que se marquen 3 o más pedidos es de 0,0037(0,37%)

Ejemplo Mayor,C.A., tiene la probabilidad de que se marque un pedido en 0,10. Calcular la probabilidad de que en cuatro pedidos, menos de 3 estén marcados p = 0,1 n = 4 P( x< 3 ) = P(x=2) + P(x=1) + P(x=0) = ?

Ejemplo

Ejemplo

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La Distribución Binomial: Media Aritmética La media μ de la distribución binomial es igual al número de veces que se repite E multiplicado por la probabilidad de éxito.

La Distribución Binomial: Varianza y Desviación Estándar La varianza de la distribución binomial es:

La Distribución Binomial: Varianza y Desviación Estándar La desviación estándar de la distribución binomial es:

Ejemplo