Unidad 2: La derivada Pendiente y razones

¡Reflexión! ¿Cómo determina la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función y=x2 en x=1 o x=2 o en cualquier otro punto? Empecemos por la pendiente de la recta secante a la gráfica de una función y = f (x) en x=xo.

x y ) ( h x f + h x + ) ( f x ) ( f

y Tangente!!! f ( ( x x f ) ) x x x 4

Pendiente de la recta tangente Note que: En el límite, cuando h  0, la recta secante se confunde con la recta tangente en x0, y podemos decir que:

Razón de cambio se llama El cociente de diferencias x y 2 1.5 5 Número de operarios. Número de docenas de pantalones producidos diariamente. Si en cada uno de los casos aumentamos un operario, ¿en cuánto aumenta la producción diaria de pantalones por operario? se llama razón de cambio promedio de y con respecto a x. El cociente de diferencias

Razón de cambio instantánea x y x0 f(x0) x1 f(x1) Note que si x1 = x0 + h entonces se llama razón de cambio instantánea de y con respecto a x en x = x0.

La Derivada La derivada de la función f respecto de la variable x, en x0 se denota por f ´(x0) y se define por: Se dice que f (x) es derivable en x0 si existe f ´(x0). Al proceso de calcular la derivada se le denomina derivación. Notación:

Pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en x0 La derivada de una función f en x0 es: La razón de cambio instantánea de la función f en x0

Ejemplo Usando la definición, determine las expresiones de la derivada de las siguientes funciones: a) f (x) = 5 b) f (x) = x c) f (x) = x2 d) f (x) = x-1 e) f (x) = x1/2 ¿ Cómo seria la derivada de f (x)=xn ? Usando la definición, calcule la derivada de: f (x) = 2 + 3x - 5x2

Derivada de una función lineal La recta tangente a la gráfica de una recta, es la misma recta, esto quiere decir que la pendiente de la recta, es también su razón de cambio (su derivada). Esto es: Ejemplos: halle dy/dx de a) b)

Para deducir la derivada de f (x) = ex y de f (x) = ln(x), dé una lectura al artículo: “Descubriendo derivadas con Winplot” f ´(x) = ex f ´(x) = 1 / x

Derivabilidad y continuidad Si una función f es derivable en el punto P(x0; f(x0)), entonces la gráfica de y = f (x) tiene una tangente no vertical en P y en todos los puntos “cercanos” a P. Esto indica que una función f es continua en cualquier punto donde sea derivable, ya que una gráfica no puede tener un “hueco” o “vacío” en ningún punto donde pueda dibujarse una recta tangente.

Es importante saber que: una función continua no necesariamente es derivable en todos los puntos. Se muestra la gráfica de tres funciones continuas en x=0, pero a pesar de ello, no son derivables en x = 0

Ejemplo: Si un fabricante produce rollos de tela con una ancho fijo y el costo de producir x yardas de tela es C = f (x) dólares, ¿qué significado tiene f´(x)?, ¿cuáles son sus unidades? en términos prácticos, qué significa decir que f´(1000)=9. Rpta. a) La derivada denota la razón de cambio instantánea del costo de producción con respecto al número de yardas producidas y sus unidades son de dólares por yarda. Rpta. b) f´(1000)=9 significa que, después de fabricar 1000 yardas de tela, la razón a la cual aumenta el costo de producción es de 9 dólares/yarda.

Para la función y = x2, ¿alrededor de cuál de los puntos (1; 1) o (2; 4), su gráfica tiene mayor variación?

Ejemplo. Dado el gráfico de la función f. Ordene de menor a mayor los siguientes valores: f ´(1), f ´(2), f ´(4) y f ´(5,8)

Ejemplo. De la gráfica, halle f ´(2) e indique la ecuación de la recta tangente en x=2.