TEMA 1 Sistemas de ecuaciones lineales MATEMÁTICAS A. CS II TEMA 1 Sistemas de ecuaciones lineales @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

SISTEMAS LINEALES (Conocimientos previos) TEMA 1.1 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. ECUACIONES LINEALES Una ecuación se llama lineal o de primer grado cuando los exponentes de todas sus variables o incógnitas es la unidad: Ejemplos: 2x – 3y = 2; x – y + 3z = 5; x – 3y = 2 – (x – y) Para resolver una ecuación lineal hay que hallar la ecuación equivalente que tenga en uno de sus lados únicamente la incógnita. Una ecuación es equivalente a otra cuando presenta la misma solución. Para conseguir ecuaciones equivalentes se aplican, cuando procedan, tres principios de equivalencia: PRIMER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: Si en una igualdad sumamos (o restamos) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta x - a = b  x – a + a = b + a  x = b + a @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. SEGUNDO PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: Si en una igualdad multiplicamos ( o dividimos ) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta a.x = b  a.x / a = b /a  x = b / a TERCER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Si en una igualdad multiplicamos ( o dividimos ) por - 1 a ambos lados, la igualdad sigue siendo cierta. Ello equivale a cambiar todo de signo. - x = a  x = - a Advertencia importante en inecuaciones: Si en una desigualdad ( o inecuación) multiplicamos ( o dividimos ) por - 1 a ambos lados, el signo de la desigualdad cambia. - x < a  x > - a Ejemplo: Numéricamente: - 2 < 3  2 > - 3 Algebraicamente: - x < 2  x > - 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejercicios 1. Resolver la ecuación: x – 2 = 5 Resolución: x – 2 + 2 = 5 + 2  x = 7 2. Resolver la ecuación: (x / 3) – 2 = 6 x / 3 = 6 + 2  x / 3 = 8 3.(x/3) = 3.8  x = 24 3. Resolver la ecuación: 3.(x + 5) = 7.x + 23 3.x + 15 = 7.x + 23  3.x – 7.x = 23 – 15  – 4.x = 8 (– 1).(– 4.x) = (– 1).8  4.x = – 8  x = – 8 / 4  x = – 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sistema de ecuaciones lineales es el conjunto de dos o más ecuaciones. Resolver un sistema es hallar los valores de las incógnitas que cumplen con todas y cada una de las ecuaciones. Para resolver un sistema hallamos ecuaciones equivalentes a las dadas, ecuaciones que presentan idéntica solución, pero que tienen despejadas las incógnitas. Ejemplo Sea el sistema: x + y = 2 x – y = 0 Como se puede apreciar por su sencillez la única solución posible es x = 1 e y = 1, pues son los valores de las incógnitas que hacen posible que se cumplan las dos igualdades. Si sumamos ambas ecuaciones queda: (x+y)+(x – y)=2+0  2.x = 2  x = 1  1 + y = 2  y = 2 – 1  y = 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. REGLAS DE RESOLUCIÓN 1.- Si a los dos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta otro sistema equivalente al dado. Ejemplo: Sea el sistema x + y = y + 2 (1) x – y = 0 (2) A ambos miembros de la ecuación (1) les restamos ‘y’, quedando el sistema equivalente al dado: x = 2 (1) x – y = 0 (2) Que tiene la ventaja de, al conocer el valor de x, poder hallar rápida y fácilmente el valor de y. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. … REGLAS 2.- Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un mismo número o expresión algebraica distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado. Ejemplo: Sea el sistema x + y ------- + 3 = 2 (1) x x – y = - 3 (2) A ambos miembros de la ecuación (1) les multiplicamos por x, quedando el sistema equivalente al dado: x + y + 3.x = 2.x (1)  2.x + y = 0 (1) x – y = - 3 (2)  x – y = - 3 (2) Que tiene la ventaja de eliminar denominadores. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. … REGLAS 3.- Si en un sistema a una ecuación la sumamos o restamos otra multiplicada por un número, el nuevo sistema resultante es EQUIVALENTE al primero, o sea tiene la misma solución. Ejemplo: Sea el sistema 3.x + y = 5 (1) x – y = - 1 (2) A la ecuación (1) la restamos la ecuación (2) multiplicada por 3, quedando: 3.x + y – 3.(x – y) = 5 – 3.(-1) (1) x – y = - 1 (2) 3.x + y – 3.x + 3.y = 5 + 3 (1) El sistema 4.y = 8 (1) es equivalente al dado. x – y = - 1 (2) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS Si un sistema tiene una o más soluciones se llama COMPATIBLE; de lo contrario es INCOMPATIBLE. Si tiene una única solución el sistema de ecuaciones lineales es DETERMINADO; y si tiene infinitas soluciones es INDETERMINADO. Ejemplos: 1. Sea el sistema x = x + 2 (1) x – y = 0 (2) El sistema es incompatible, no admite solución. Ver ecuación (1). 2. Sea el sistema x = 5 (1) El sistema es compatible y determinado, admite solución: x = 5, y = 5. 3. Sea el sistema x = x (1) El sistema es compatible e indeterminado, admite infinitas soluciones. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Método de Sustitución Si en una ecuación de un sistema se sustituye una incógnita por la expresión que se obtiene al despejarla de la otra ecuación, resulta otro sistema equivalente. Método de Igualación Es una variante del método anterior. Este método se emplea cuando es muy fácil despejar una incógnita determinada en las dos ecuaciones. Método de Reducción Se suman o restan las ecuaciones del sistema para eliminar una incógnita, quedando otro sistema equivalente al dado. Método Gráfico De cada ecuación se despeja la incógnita ‘y’. Queda un sistema de funciones lineales. Se representan las dos rectas correspondientes y las coordenadas del punto de corte será la solución. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Método de SUSTITUCIÓN Se puede emplear casi siempre. Se despeja una incógnita cualquiera en una ecuación cualquiera, y se sustituye la expresión resultante en la otra ecuación. Ejemplo_1 Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) ; 3x - y = 2 (2) De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : x= 4 – 3y Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) : 3 (4 – 3y) – y = 2 Operando … 12 – 9y – y = 2 , 12 – 2 = 9y + y , 10 = 10 y , y = 1 Llevando ese valor a la ecuación ( 1 bis), tenemos … x = 4 – 3.y = 4 – 3.1 = 4 – 3 = 1 , o sea x = 1 Comprobación: 1 + 3.1 = 4  4 = 4 , 3.1 – 1 = 2  2 = 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo_2 Sea el sistema: 2x + 3y = 12 (1) ; 3x - 4y = 1 (2) De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : x= (12 – 3y) / 2 = 12/2 - 3/2 y = 6 – 1,5 y Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) : 3 (6 – 1,5y) – 4y = 1 Operando … 18 – 4,5y – 4y = 1 , 18 – 1 = 4,5y + 4y , 17 = 8,5 y , y = 2 Llevando ese valor a la ecuación ( 1 bis), tenemos … x = 6 – 1,5y = 6 – 1,5.2 = 6 – 3 = 3 , o sea x = 3 Comprobación: 2.3+ 3.2 = 12  12 = 4 , 3.3 – 4.2 = 1  1 = 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Método de IGUALACIÓN Este método se emplea cuando es muy fácil despejar una incógnita determinada en las dos ecuaciones. Ejemplo_1 Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) ; 3x - y = 2 (2) Despejamos “x” en ambas ecuaciones, quedando: x = 4 – 3y (1 bis) ,, x = ( 2 + y ) / 3 (2 bis) Como x = x , las dos expresiones resultantes deben ser iguales 4 – 3y = (2 +y) / 3 Operando en la proporción resultante … 12 – 9y = 2 + y , 12 – 2 = y + 9y , 10 = 10y , y = 1 Sustituyendo ese valor en la ecuación ( 1 bis): x = 4 – 3.1 = 4 – 3 = 1 , o sea x = 1 Las soluciones son las mismas que nos había dado al aplicar el M.de Sustitución. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo_2 Sea el sistema: 2x + 3.y = 12 (1) ; 3x - 4y = 1 (2) Despejamos “x” en ambas ecuaciones, quedando: x = (12 – 3y) / 2 (1 bis) ,, x = ( 1 + 4y ) / 3 (2 bis) Como x = x , las dos expresiones resultantes deben ser iguales (12 – 3y) / 2= (1 +4y) / 3 Operando en la proporción resultante … 36 – 9y = 2 + 8y , 36 – 2 = 8y + 9y , 34 = 17y , y = 2 Sustituyendo ese valor en la ecuación ( 1 bis): x = (12 – 3.2) / 2 = 6 – 3 = 3 , o sea x = 3 Las soluciones son las mismas que nos había dado al aplicar el M.de Sustitución. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Método de REDUCCIÓN Se empleará cuando coincidan los coeficientes numéricos en una de las dos incógnitas. Si no coinciden, podemos hacerles coincidir multiplicando una o las dos ecuaciones por el factor o factores adecuados. Es a veces imprescindible en la resolución de sistemas de ecuaciones de segundo grado. Ejemplo_1 Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) ; 3x - y = 2 (2) Multiplicamos la ecuación (1) por 3, resultando otra EQUIVALENTE. 3x + 9y = 12 (3) 3x - y = 2 (2) A la ecuación (3) la quito la (2), quedando: (3x – 3x) + (9y – (-y)) = 12 – 2  10 y = 10  y = 1 Sustituyendo el valor de “y” en la ecuación (1) , tenemos: x + 3.1 = 4 , x = 4 – 3 , x = 1 Como se ve, la solución es la misma que por los otros Métodos. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo_2 Sea el sistema: 2x + 3.y = 12 (1) 3x - 4y = 1 (2) Multiplicamos la ecuación (1) por 4 y la ecuación (2) por 3 , resultando otro sistema de ecuaciones EQUIVALENTES. 8x + 12y = 48 (3) 9x - 12y = 3 (4) A la ecuación (3) la sumo la (4), quedando: (8x + 9x) + (12y – 12y) = 48 + 3  17 x = 51  x = 3 Sustituyendo el valor de “x” en la ecuación (1) , tenemos: 2.3 + 3.y = 12 , 3y = 12 – 6 , 3y = 6 , y = 2 Como se ve, la solución es la misma que por los otros Métodos. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.