Funciones

Breve reseña Historica El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.

La función presente en la vida cotidiana La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Ejemplos : En un almacén, a cada producto le corresponde un precio. El consumo de energía eléctrica se halla relacionado con el costo. El área de un circulo con el radio.

Concepto de función Por tanto la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva

definición Sean X y Y dos conjuntos no vacíos, subconjuntos de los números reales. Una función de variable real de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X un único elemento de Y.

Notación Una función se representa simbólicamente por: y = f(x) f : X  Y Se usa la letra f o g para denominar una función. f(x) que se lee “f de x” o “ f en x” y=f(x), se lee “y es una función de x”, o “y depende de x”.

Condiciones para ser función Una relación debe cumplir 2 condiciones para ser función: Todo elemento del conjunto de partida X debe tener imagen. Esta imagen debe ser única. Toda función es relación, pero no toda relación es función.

A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio Esto no es función A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio

Esto no es función A parcial nabla raiz existe B

A A B A B f ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Es una función No es una función A B f ● ● ● ● ● ● ● Es una función

Reconocimiento de una función geométricamente.

¿ Cuál es Función ? 1 2 3 4

Haga clic en las ecuaciones que están ubicadas en el recuadro de la derecha, las que Ud. considere que son funciones ¿Por qué algunas de las ecuaciones son Funciones?

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Variable independiente Elementos de una Función X Variable independiente Dominio Variable dependiente f Y = f(X) Codominio, (Contradominio Rango, ámbito) x es la Variable independiente y = f(x) es la Variable dependiente

Domino y Rango de una función Dominio. Es el conjunto de todos sus primeras componentes o antecedentes de los pares ordenados de f y se le denota por: Rango. Denominado también recorrido de la función f, al conjunto de las segundas componentes (imágenes o consecuentes) de todos los elementos A vía f ; y se le denota por:

Función Conceptos: Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom f. Recorrido: es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente (Y), y se denota Rec f. Función Creciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente. Función Decreciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye. Función Constante: es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor

Definición de función Dominio a b c d e

Definición de función Codominio Dominio a b c d e

Definición de función a b Codominio Dominio c d e Rango

Dominio y Recorrido Dominio Sea A y B dos conjuntos no vacío, y f una función de A en B, a un sub conjunto del conjunto A se llama Dominio de la función a Dominio Y lo denotaremos por

Dominio y Recorrido Y lo denotaremos por Recorrido Sea A y B dos conjuntos no vacío, y f una función de A en B, a un sub conjunto del conjunto B se llama recorrido de la función a Y lo denotaremos por

Dominio y Recorrido en el plano cartesiano

Dominio y Recorrido usando Método de Óvalos

¿Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente función? Buscar condiciones para la variable Buscar condiciones para la variable

Tabla de Evaluación Y su grafica es Menú

Representación Grafica Diagrama Sagital Plano Cartesiano

Ejemplo. El conjunto si es una función de A en B , pues cada elemento x ε A tiene asignado un único elemento y ε B. Asimismo , vemos que f es también una aplicación de A en B, pues : El Rango de la función es: f A B 1 a 2 b 3 c d 4 e

Formas de representar una función. Verbal: como su mismo nombre lo dice es con palabras. Ejemplo: P(t) es la población del mundo en el instante t. Algebraica: A través de una fórmula. X+25=y Visual: Es decir a través de diagramas y gráficas. Numérica: A través de la organización mediante tablas Onzas dólares x 1 2 3 4 5 … y 11 12 13 14 15…

Representación Función f(x) = y

Ejemplo de una función Sea el conjunto A ={1, 2, 3} Le aplicamos la función: f(x) = x + 1 Se obtienen los primeros tres elementos del conjunto B = {2, 3, 4, 5} Es decir:

Función La Respuesta correcta es B

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas Las funciones pueden clasificarse como inyectivas, suprayectivas y biyectivas; para entenderlo debemos recordar las definiciones de domino, imagen, codomino, variable dependiente y variable independiente

Función Inyectiva Una función es inyectiva si a cada elemento del rango o imagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino. Ejemplo: Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f={(1,2), (2,1), (3,3)} Nótese que cada elemento del conjunto B recibe solamente una línea. ENTONCES ES INYECTIVA.

Ejemplo: Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f={(1,2), (2,1), (3,2)} Hay un elemento de B (el número 2) que recibe dos flechas o líneas, por lo tanto NO ES INYECTIVA.

Función Sobreyectiva La función es sobreyectiva cuando el rango y el codomino son iguales Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1,2,3} y B = {2,4} y f={(1,2),(2,2), (3,4)} El codominio es: B = {2,4} y El rango es: rg f = {2,4} Observamos que el codominio y el rango son iguales entonces: La función es SOBREYECTIVA

El codomino B = {2, 4} y El rango es: I = {2} Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1,2,3} y B = {2,4} y f = {(1,2), (2,2), (3,2)} El codomino B = {2, 4} y El rango es: I = {2} Como el codominio y el rango NO son iguales la función NO ES SOBREYECTIVA

Funciones Biyectivas Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez. a b c 1 2 3 A B f Ejemplo: f(x)=y = x-1 Es al mismo tiempo, inyectiva y sobreyectiva; por lo tanto es biyectiva.

Función La Respuesta correcta es E

Función La Respuesta correcta es B

Función La Respuesta correcta es D