II Unidad: Relaciones y Funciones “Conceptos básicos” MATEMÁTICA IIº AÑO MEDIO DOCENTES: Isaías Correa M.

APRENDIZAJES ESPERADOS Definir relación y función, estableciendo las diferencias entre un concepto y otro. Determinar si una relación es función. Determinar el Dominio y Recorrido de una Relación Determinar el Dominio y Recorrido de una Función. Determinar si una función es inyectiva, epiyectiva o biyectiva. Representar información cuantitativa a través de gráficos y esquemas.

Contenidos Nociones de teoría de conjuntos 2. Relaciones 3. Funciones a) Definiciones b) Producto Cartesiano 2. Relaciones a) Definición b) Dominio, Codominio y Recorrido 3. Funciones a) Definición b) Evaluación de funciones c) Dominio y recorrido de una función d) Clasificación: Inyectivas; Epiyectivas; Biyectivas.

1. Nociones de Conjuntos a) Definiciones Conjunto: Es una colección de objetos bien definidos, considerados como una sola unidad. Pertenencia (Є) : Si un objeto “p” es elemento de un conjunto C, entonces p pertenece a C y su notación es: p Є C. Si p no pertenece a C, se denota: p Є C Conjunto vacío (Ø): Es aquel conjunto que no posee elementos. También se denota como: { } Subconjunto ( ): Un conjunto A es “subconjunto” de otro conjunto B si todos los elementos que pertenecen a A, son también elementos de B.

b)Producto Cartesiano Dados los conjuntos A y B , su producto cartesiano ( A × B ) está formado por cada uno de los pares ordenados donde el primer elemento pertenece a A y el segundo a B : A x B = { (a,b) / a Є A y b Є B } Ejemplo: Si A = { a, b, c } y B = { 1, 2 } , entonces: A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}

Gráficamente: B . . . 2 . . . 1 a c b A

2.Relaciones a) Definición: Ejemplo: Una “relación R” de un conjunto A a un conjunto B (R: A B), es un subconjunto del producto cartesiano entre A y B (A x B), determinado por una, o más condiciones. El conjunto A se denomina “Conjunto de Salida” o “Conjunto de Partida”; y el conjunto B, “Conjunto de Llegada” de la relación. Ejemplo: Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que: R = { (a,b) Є A x B / b es múltiplo de a} entonces: A x B = {(2,4); (2,5); (2,6); (3,4); (3,5); (3,6); (7,4); (7,5); (7,6)} R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B

Gráficamente: B . . . 6 . . . 5 . . . 4 R 2 3 7 A

Además de estos elementos podemos agregar que: El par (2,4) pertenece a la relación R, ya que 4 es múltiplo de 2. Los pares (2,6) y (3,6), también están relacionados, ya que 6 es múltiplo de 2 y de 3. Notación: (2,4) Є R ó 2 R 4 ó R (2) = 4 (2,6) Є R ó 2 R 6 ó R (2) = 6 (3,6) Є R ó 3 R 6 ó R (3) = 6

b) Dominio, Recorrido y Codominio : Dominio: Recorrido: Codominio: Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida que son pre-imagen de algún elemento del conjunto de llegada. Recorrido: Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de llegada que son imagen de algún elemento del conjunto de partida. Codominio: Es otra manera de denominar al conjunto de llegada de la relación.

Ejemplo: Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que: R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B , entonces: Dom(R): = {2,3} Rec(R): = {4,6} Codom(R): = {4,5,6} = B

R A B 2 3 7 4 5 6 Entonces, si R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B Este tipo de representación de relaciones se denomina “diagrama sagital” (sagita = flecha) 2 3 7 4 5 6 Conj. de partida. {2,3,7} Conj. de llegada (Codominio) {4,5,6} Pre-imágenes {2,3} Imágenes {4,6} De acuerdo al diagrama, se puede afirmar que: 2 es “pre-imagen” de 4 y de 6 , y 4 es “imagen” de 2

Relación Inversa Una relación R tiene inversa y se escribe como Rˉ¹ Por ejemplo: Sí R={ (2,3), (4,5),(5,6)} Entonces Rˉ¹ ={(3,2),(5,4),(6,5)}

3. Funciones 3.1. Definición Ejemplos: R A B a b c d e f R (c)= e Una “función f” es una relación, tal que todo elemento del conjunto de partida tiene imagen, y ésta es única. Dom f = A Ningún elemento del dominio tiene más de una imagen. Ejemplos: 1. Determine si la siguiente relación R es función: R A B a b c d e f R (c)= e R (c)= f La relación R NO es función, porque c tiene dos imágenes.

2. Determine si la siguiente relación R es función: B 3 5 4 6 7 9 R es función, ya que cada elemento del conjunto de partida tiene imagen y ésta es única. f f (3) = 6 A B 3 5 4 6 7 9 f (5) = 6 f (4) = 7 Además: Dominio(f) = A Recorrido(f) = {6,7}

3.2. Evaluación de funciones Ejemplo 1: Sea f una función, definida en los reales como: f(x) = 2x + 3. f Determinar: IR IR a) f (1) = 2·1 + 3 = 5 1 3 7 12 … x 5 9 17 27 … f(x) b) f (3) = 2·3 + 3 = 9 c) f (7) = 2·7 + 3 = 17 d) f (12) = 2·12 + 3 = 24 + 3 = 27

e) Para f(x) = 2x + 3, determinar f (4) - 3·f (0) f (-1) = 2·4 + 3 – 3(2·0 + 3) 2(-1) + 3 8 + 3 – 3(3) 1 = = 11 – 9 = 2

3.3. Dominio y Recorrido Representación gráfica de: f(x) = 2x + 3. f(x) = 2x + 3 es “función afín”, Dom(f)=IR y Rec(f)=IR

y x Por lo tanto, este gráfico representa una función.

¿Es siempre posible calcular este cuociente? Ejemplo 1: f(x)= 2 x – 1 Sea ¿Es siempre posible calcular este cuociente? Respuesta: Como la división por 0 no está definida, x – 1 debe ser distinto de 0, es decir: x ≠ 1. f Luego, Dom(f) = IR – {1} IR IR 2 3 -1 x 1 2 1 -1 … f(x)

Ejemplo 2: ¿Por qué? Ejemplo 3: f(x)= x x – 3 x= 3y y – 1 y= x x – 3 Sea f(x) = x + 2 Dom(f) = [ -2, +∞ [ ¿Por qué? Ejemplo 3: f(x)= x x – 3 Como la división por 0 no está definida, x – 3 debe ser distinto de 0, es decir: x ≠ 3. Luego, Dom(f) = IR – {3} Para determinar el recorrido de f(x), se debe despejar x. x= 3y y – 1 y= x x – 3 yx – 3y=x yx – x=3y y(x – 3)=x x(y – 1)=3y Luego, Rec(f) = IR – {1}

Ejemplo 4: Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones, determinando el dominio y recorrido de aquellos que representen una función. y = 2 Dom(f) = [-2,5 , 5] Dom(f) = IR Rec(f) = [-1,8 , 3,2] Rec(f) = {2}

x = 3 Dom(f) = IR No es función Rec(f) = ]-∞ , 4]

3.4. Clasificación Función inyectiva (uno a uno): Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido, es imagen de exactamente un único elemento del dominio. i) En un Diagrama Sagital: Ejemplo: 1. Determine si la siguiente función es inyectiva: f A B 2 3 7 4 5 6 Dom(f) = A Rec(f) = {5,6} f NO es función inyectiva, porque 6 es imagen de 2 y de 3.

ii) En el Plano Cartesiano: Por lo tanto, NO es Inyectiva iii) Funciones Reales: Sí f(x1)=f(x2) x1=x2

Por ejemplo: Sí f(x)=4x – 3 una función real, verificar si es inyectiva.   f(x1)=4x1 – 3 f(x1)= f(x2) f(x2)=4x2 – 3 4x1 – 3=4x2 – 3 /+3 4x1 – 3+3=4x2 – 3+3 4x1=4x2 /:4 x1=x2 Por lo tanto, la función es inyectiva

Función Epiyectiva: (Sobre) Diremos que una función es epiyectiva, cundo el recorrido de ella es igual al codominio, es decir, cuando no sobran elementos en el codominio. i) En el diagrama sagital: f f B A 2) 1) A B 4 5 6 4 5 6 2 3 7 2 3 7 Es función epiyectiva No es función epiyectiva, porque sobra el “4”

iv) En el plano Cartesiano: 1) y 2) x No es función epiyectiva Es función epiyectiva

iii) Funciones reales: Para funciones definidas de f:IR IR, el procedimiento es similar al utilizado para encontrar el recorrido de una función real, es decir, debemos despejar “x”. Ejemplo: Dada la función real definida de f:IR IR f(x)= Para verificar si esta función es o no epiyectiva, debemos despejar “x” y comprobar si Rec(f)=Codom (f) Codom(f) y= x x – 3 x(y – 1)=3y x= 3y y – 1 y(x – 3)=x yx – 3y=x Luego, Rec(f) = {yєIR / y≠1}, por lo tanto Como el Codom(f) ≠ Rec(f), entonces f(x) no es epiyectiva. yx – x=3y

f es biyectiva, ya que es inyectiva y epiyectiva a la vez. Función biyectiva: Una función es biyectiva si es inyectiva y epiyectiva a la vez. Ejemplos: f A B 5 8 -3 4 7 -4 Dom(f) = A Rec(f) = {4, 7, -4} = B f es biyectiva, ya que es inyectiva y epiyectiva a la vez. OBS. Una función Biyectiva posee inversa y se denota por f-1

f-1 (x)= Función Inversa: f-1 Esta función nos permite saber “qué preimagen le corresponde a una imagen cualquiera, es decir nos devuelve al principio. El procedimiento para encontrar la inversa de una función (f-1) es similar al utilizado para encontrar el recorrido, es decir, debemos despejar “x”. Sí f(x)= entonces, para encontrar su inversa debemos despejar “x”, para eso f(x) lo cambiamos por “y” y= x x – 3 x= 3y y – 1 y(x – 3)=x Enseguida, cambiamos “x” por f-1(x), e “y” por “x” y nos queda: yx – 3y=x yx – x=3y f-1 (x)= 3x x – 1 x(y – 1)=3y