Relaciones Entre Conjuntos

Presentación del tema: "Relaciones Entre Conjuntos"— Transcripción de la presentación:

1 Relaciones Entre Conjuntos
Profesor: Francisco carrera. Fecha: 9/11/12.    Alumno: Kristie Herrera Brenes Mauricio Solano Castro

2 Parejas ordenadas El orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo: {3, 5} = {5, 3} Tambien se les conoce como tuplas cuando son pares ordenados Por otra parte, escribe (a, b), en donde a es el primer elemento y b es el segundo. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d.

3 Producto cartesiano Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en donde a ∈A y b ∈B EJEMPLO 
Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:
 A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}

4 Correspondencias y aplicaciones entre conjuntos
A partir de la definición de producto cartesiano, introduciremos las relaciones más importantes que se pueden establecer entre los elementos de dos conjuntos dados.

5 Se definen también los siguientes conjuntos:
El conjunto A es el conjunto inicial o conjunto de partida, que es del que salen las 
flechas. El conjunto B es el conjunto final o conjunto de llegada, que es al que llegan las 
flechas. A B Inicial final Original imagen Preimagen codominio Dominio rango

6 Correspondencias Dados dos conjuntos A y B, se denomina correspondencia ƒ entre A y B a un subconjunto delproducto cartesiano de A por B. 
 Al conjunto de los pares de una correspondencia se le denomina grafo, y se representa por G.

7 Correspondencias EJEMPLO
Si A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, y un grafo G = [(a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 4)}. Vemos que G es un subconjunto de A x B, es decir, G ⊂ (A x B).


8 Tipos de correspondencia
1. Correspondencia en o inyectiva es decir, a cada elemento del conjunto final puede llegarle una o ninguna flecha. ƒinyectiva ⇔∇y1,y2∈B,dondey1 =ƒ(x1), y2=ƒ(x2),siy1 =y2 ⇒x1=x2,∇x1,x2∈A Ejemplo:

9 Tipos de correspondencia
2. Correspondencia sobre o suprayectiva o exhaustiva es sobre cuando el conjunto imagen coincide con el conjunto final; es decir, cuando todo elemento del conjunto final es imagen de al menos uno del inicial.

10 Tipos de correspondencia
3. Correspondencia unívoca:Una correspondencia ƒ es unívoca cuando cada elemento del conjunto original tiene como máximo una imagen; es decir, de cada elemento del conjunto inicial puede partir una o ninguna flecha al conjunto final.

11 Tipos de correspondencia
4. Correspondencia multívoca:Una correspondencia ƒ es multívoca cuando existe algún elemento del conjunto inicial con dos o más imágenes.

12 Tipos de correspondencia
5. Correspondencia biunívoca:Una correspondencia unívoca ƒ entre dos conjunto A y B es biunívoca cuando su correspondencia inversa ƒ-1 también es unívoca.

13 Clases de aplicaciones:
1.Aplicación inyectiva: Es aquella en la que a cada elemento del conjunto imagen le corresponde a uno y sólo a un elemento del conjunto original; es decir, cada elemento del conjunto final es imagen de al menos un elemento del conjunto original.

14 Clases de aplicaciones:
2. Aplicación suprayectiva o exhaustiva: Es la aplicación que verifica que el conjunto final es igual a su conjunto imagen.

15 Clases de aplicaciones:
3. Aplicación biyectiva:Es la aplicación que a la vez es inyectiva y suprayectiva. Obsérvese que en este caso, si los dos conjuntos son finitos, deben tener el mismo cardinal.

16 Relaciones: Una relación puede pensarse como una tabla que enumera la relación de algunos elementos con otros.

17 Relación binaria La relación binaria definida en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A x A. EJEMPLO Sea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representa una relación binaria definida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y, y) constituyen un subconjunto de A x A.

18 Propiedades de una relación binaria
Las principales propiedades que puede presentar una relación binaria R definida en un conjunto A se indican en la siguiente tabla, junto con sus respectivas condiciones.

19 Propiedades de una relación binaria
1. Reflexiva. Cada elemento tiene un bucle Ejemplo:
 Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser igual que”, se tiene: R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

20 Propiedades de una relación binaria
2. Anterreflexiva. Ningún elemento tiene un bucle. 
 Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser menor que”, se tiene: 
 R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} 


21 Propiedades de una relación binaria
3. Simétrica. Cada flecha de ida tiene otra de vuelta. Ejemplo: 
 SiA={-1,2,-3,4}yRestalque∇a,b ∈A, a R b ⇔ a⋅ b>0, setiene: R = {(-1, -1), (-1, -3), (2, 2), (2, 4), (-3, -1), (-3, -3), (4, 2), (4, 4)}

22 Propiedades de una relación binaria
4. Antisimétrica en sentido amplio.Ninguna flecha de ida tiene otra de vuelta, salvo en el caso de los bucles, que están permitidos. Ejemplo: 
Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser menor o igual que”, se tiene: R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

23 Propiedades de una relación binaria
5. Antisimétrica en sentido estricto.Ninguna flecha de ida tiene otra de vuelta, y no están permitidos los bucles. Ejemplo: Si A = {5, 7, 10} y R es la relación “ser menor que”, se tiene: R = {(5, 7), (5, 10), (7, 10)}