LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO DÍA 34 * 1º BAD CS

LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO Y 1 LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO Si representamos la función: x 3 f(x)= ------ = 1 + ------- x – 3 x - 3 Hipérbola de centro (3, 1) Vemos que en x=3 la función no existe. Sin embargo existe en las proximidades de x=3, donde la gráfica tiende a juntarse con una recta vertical. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto xo=3. Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de xo=3 0 3 x

Para ver cómo se comporta la función en las proximidades de x=3 habrá que calcular sus límites laterales: Límite por la derecha: x 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x3+ x - 3 +0 pues x vale algo más de 3. Límite por la izquierda: x 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x3- x - 3 - 0 pues x vale algo menos de 3. Los límites laterales nos ayudan a definir la tendencia de una función en determinados puntos críticos. Y 1 0 3 x

Otro ejemplo Queremos representar la función: f(x) = x / ( x2 - 4) Vemos que cuando x vale 2 ó -2 , el valor de y es +/- 2 / 0 La función no existe en x=2 ni en x=-2 Sin embargo sí existe en las proximidades de dichos valores de x. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x1= 2 y otra en x2= - 2. Veamos su comportamiento en x = 2 x 2 lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x2+ x2 - 4 +0 pues x vale algo más de 2 y x2 > 4 x 2 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ------ = - oo x2- x2 - 4 - 0 pues x vale algo menos de 2 y x2 < 4 Y -2 0 2 x

… Otro ejemplo: Teníamos f(x) = x / ( x2 - 4) Veamos ahora su comportamiento en x = - 2 x - 2 lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x- 2+ x2 - 4 - 0 pues x vale algo más de – 2 y por tanto x2 < 4 x - 2 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x- 2- x2 - 4 + 0 pues x vale algo menos de – 2 y por tanto x2 > 4 Y -2 0 2 x Los límites laterales nos ayudan a definir la tendencia de una función en determinados puntos críticos.

LIMITES EN EL INFINITO Ejemplo y = x / (x – 3) El límite de una función f, cuando x tiendo a ± oo, es L si para cualquier sucesión de valores de x que tienda a oo, el límite de la sucesión de las correspondientes imágenes es L. lím f(x) = L x ± oo En caso de existir límite en el infinito decimos que f presenta una asíntota horizontal. Ejemplo y = x / (x – 3) Para x = 1000  y = 1000/997 = 1,003 Para x=10000  y = 10000/9997 = 1,0003 Para x = 100000  y = 1,00003 Está claro que por mucho que aumente la variable x, el valor de y cambia muy poco y además se acerca a y=1, aunque nunca llega.

Otro ejemplo y = x / (x2 – 4) Para x = 1000  y = 1000/999996 = 0,001 Está ya claro que: Lím f(x) = 0 x+oo Si x toma valores negativos muy grandes, el valor de f(x) seguirá una sucesión de valores idéntica, aunque ahora negativos. x – oo La función presenta una recta asíntota horizontal que es y = 0. Si los dos límites hallados fueran de distinto valor, la función tendría dos asíntotas horizontales: y = L1 e y = L2

PROPIEDADES OPERATIVAS DE LOS LÍMITES a) Si existe límite, éste debe ser único. b) El límite de una suma es la suma de los límites: lím (an ± bn) = lím an ± lím bn n∞ n∞ n∞ c) El límite de una constante por una sucesión es la constante por el límite de la sucesión: lím k.an = k. lím an n∞ n∞ d) El límite de un producto o división es el producto de los límites: lím (an . bn) = lím an . lím bn n∞ n∞ n∞ e) El límite de una potencia es la potencia de los limites : bn lím bn lím (an) = (lím an) n∞ n∞ n∞ f) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite: lím Log an = Log lím an n∞ a a n∞